Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập liên quan sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn hiểu sâu sắc về chủ đề này.
1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
1. Định nghĩa
Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)$ - Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\) |
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \)
Tập xác định của hàm số là \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có:
\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \ge \) 0; dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 0\), tức x = -1 hoặc x = 1.
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0\)
\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \le 1\); dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 1\), tức x = 0.
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1\)
2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm f’(x) = 0. Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\) |
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))
y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\)
Chuyên đề về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương trình Kết nối tri thức. Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn phát triển tư duy logic và khả năng phân tích toán học.
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên một tập hợp D được gọi là GTLN của f(x) trên D nếu tồn tại một số M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và f(x0) = M tại một điểm x0 thuộc D.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một tập hợp D được gọi là GTNN của f(x) trên D nếu tồn tại một số m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và f(x0) = m tại một điểm x0 thuộc D.
Có nhiều phương pháp để tìm GTLN và GTNN của hàm số, tùy thuộc vào dạng hàm số và tập xác định của nó. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
Đây là phương pháp phổ biến nhất và hiệu quả nhất để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Các bước thực hiện như sau:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 trên đoạn [-1; 3].
Giải:
Khi tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng mở, cần xem xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc trừ vô cùng.
Trong một số trường hợp, hàm số có thể không có GTLN hoặc GTNN trên một tập hợp cho trước.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp được trình bày trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
