Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tại toan11.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về phương trình mặt cầu, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, phương trình tổng quát của mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu, và các ứng dụng thực tế của kiến thức này.
1. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).
Giải:
Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Suy ra: \(\overrightarrow {OP} = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ} = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Do đó,
\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).
Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\), nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi R > 0.
Từ phương trình chính tắc (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², ta có:
Từ phương trình tổng quát x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, ta có:
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là: (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0
Giải: Ta có a = 2, b = -1, c = 3, d = 5. Vậy tâm của mặt cầu là I(2; -1; 3) và bán kính R = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √6
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Ngoài lý thuyết cơ bản, bạn có thể tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan như:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
