Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng để các em tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài 1 yêu cầu các em xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, các em cần:
Ví dụ, nếu đạo hàm f'(x) > 0 trên một khoảng, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Bài 2 thường liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số. Các em cần:
Bài 3 có thể yêu cầu các em vẽ đồ thị hàm số. Để vẽ đồ thị, các em cần:
Bài 4 thường là bài toán ứng dụng của hàm số, yêu cầu các em giải quyết các vấn đề thực tế bằng cách sử dụng kiến thức về hàm số. Các em cần:
Để giải bài tập Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức hiệu quả, các em nên:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức trên toan11.edu.vn sẽ giúp các em học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
