Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 52,53 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right),A'\left( {0; - 2;7} \right),C'\left( {0;2;5} \right),B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right);\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)
Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\)
Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Lấy các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Lấy các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) (H.5.36)
a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)
b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - \sqrt 2 y + z - 2 = 0\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\), mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {0;1;0} \right)\). Ta có: \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 - \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),B\left( {2\sqrt 3 ;0;0} \right),A'\left( {0; - 2;7} \right),C'\left( {0;2;5} \right),B'\left( {2\sqrt 3 ;0;6} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;4;0} \right);\overrightarrow {A'B'} \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} \left( {0;4; - 2} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0; 8\sqrt 3 } \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{{ 1}}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\)
Do đó, \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 0.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 26,{6^o}\)
Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26,{1^o}\).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập chương về các số phức. Đây là một phần quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức nền tảng để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải bài tập về số phức là điều cần thiết.
Mục 3 bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề bài: Thực hiện các phép tính sau: a) (2 + 3i) + (1 - i); b) (5 - 2i) - (3 + i); c) (1 + i)(2 - 3i); d) (4 + 5i)/(1 - i).
Lời giải:
Đề bài: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau: a) 3 + 2i; b) -1 - i; c) 5; d) -2i.
Lời giải:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 3 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và kỹ năng liên quan đến số phức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
