Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng và dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.\). a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’. b) Tính góc giữa d và d’.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.\).
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.
b) Tính góc giữa d và d’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)
b) Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( { - 2; - 3;3} \right).\)
Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( {1; - 2;0} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;1; - 3} \right),\) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \)
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 6.3 + 0.1 + 3.\left( { - 3} \right) = 18 + 0 - 9 = 9 \ne 0\) nên d, d’ chéo nhau.
b) Ta có: \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 2.1 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Do đó, góc giữa d và d’ xấp xỉ \(65,{9^o}\).
Bài tập 5.47 thuộc chương trình Toán 12 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tích phân để tính diện tích hình phẳng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định đúng giới hạn tích phân và hàm số cần tích phân để có được kết quả chính xác.
Bài tập 5.47 thường có dạng như sau: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong cho trước. Các đường cong này có thể là đường thẳng, đường cong bậc hai, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Để giải bài tập này, học sinh cần:
Để giải bài tập 5.47 một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài tập 5.47 yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 và đường thẳng y = 4.
Bước 1: Xác định điểm giao nhau của đường cong và đường thẳng:
x2 = 4 => x = -2 và x = 2
Bước 2: Xác định giới hạn tích phân: a = -2, b = 2
Bước 3: Viết biểu thức tích phân:
S = ∫-22 (4 - x2) dx
Bước 4: Tính tích phân:
S = [4x - (x3/3)]-22 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 và đường thẳng y = 4 là 32/3.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5.47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với bài giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
