Bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, chương trình Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Toan11.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 5.40, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng AC. c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng AC.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
b, c) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).
c, d) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 2;4} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\)
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\( - 5\left( {x - 1} \right) + y - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x + y - 2z + 3 = 0\)
b) Đường thẳng AC đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) phương trình tham số đường thẳng AC là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).
c) Gọi I là trung điểm của AC nên \(I\left( {0; - 1;1} \right)\)
Mặt cầu đường kính AC có bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt 6 \) và tâm \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) nên phương trình mặt cầu là: \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và bán kính \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \) nên phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)
Bài tập 5.40 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài tập 5.40:
Một vật thể chuyển động theo quy luật s = t3 - 3t2 + 5t + 2, trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm t. b) Tính gia tốc của vật tại thời điểm t. c) Tìm thời điểm mà tại đó vận tốc của vật bằng 0.
a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm t:
Vận tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của hàm s theo t:
v(t) = s'(t) = 3t2 - 6t + 5
b) Tính gia tốc của vật tại thời điểm t:
Gia tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của hàm v(t) theo t:
a(t) = v'(t) = 6t - 6
c) Tìm thời điểm mà tại đó vận tốc của vật bằng 0:
Để tìm thời điểm mà vận tốc của vật bằng 0, ta giải phương trình v(t) = 0:
3t2 - 6t + 5 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Ta tính delta:
Δ = (-6)2 - 4 * 3 * 5 = 36 - 60 = -24
Vì Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là vận tốc của vật không bao giờ bằng 0.
Kết luận:
Các bài tập về ứng dụng đạo hàm thường yêu cầu học sinh:
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về ứng dụng đạo hàm, các em học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Toan11.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng đạo hàm và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
