Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 54, 55, 56 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện.
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 55SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác \(\overrightarrow 0 \)), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}\left( {{0^0} \le \widehat {AOB} \le {{180}^0}} \right)\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng \({0^0}\).
Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng \({180^0}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 56SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 56SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}\left( {{0^0} \le \widehat {AOB} \le {{180}^0}} \right)\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên AA’B’B là hình chữ nhật. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \). Do đó: \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {B'BC} = {90^0}\) (do BB’C’C là hình chữ nhật)
Vì AA’B’B là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \widehat {C'A'B'}\).
Vì tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên \(\widehat {C'A'B'} = {60^0}\). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^0}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Như đã biết, nếu có một lực \(\overrightarrow F \) tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} \), trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để giải thích: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hương của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\)
Vì lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\) lớn nhất. Do đó, \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = {0^0}\) . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.
Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy điểm O và vẽ các vectơ\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \) (H.2.21).
a) Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \).
b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao \(\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {A'O'} + \overrightarrow {O'B'} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {A'O'} ;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O'B'} \)
Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \)
b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)
Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: \(\cos \widehat {A'O'B'} = \frac{{O'A{'^2} + O'B{'^2} - A'B{'^2}}}{{2.O'A'.O'B'}}\)
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow AB = A'B',\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {A'O'} \Rightarrow OA = O'A';\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O'B'} \Rightarrow OB = O'B'\)
Do đó, \(\cos \widehat {AOB} = \cos \widehat {A'O'B'} \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, \(A'C' = B'D' = \sqrt 2 \)
Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra \(\overrightarrow {B'D'} = 2\overrightarrow {E'D'} \) và \(E'D' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, \(\overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {E'E} \) và \(E'E = \frac{1}{2}A'C\)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)A’C’C vuông tại C’ có: \(A'C = \sqrt {A'C{'^2} + C'{C^2}} = \sqrt {2 + 1} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow E'E = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)D’C’E vuông tại C’ có:
\(ED{'^2} = C'D{'^2} + C'{E^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
Vì \(E'D{'^2} + E'{E^2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = ED{'^2}\) nên \(\Delta \)E’D’E vuông tại E’. Do đó, \(\overrightarrow {E'E} \bot \overrightarrow {E'D'} \)
Ta có: \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 2.\overrightarrow {E'E} .2.\overrightarrow {E'D'} \)\( = 0\) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là \(a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, \(OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS} = 2\overrightarrow {OE} \)
Vì O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OB} \)
Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên \(\Delta \)EOB vuông tại O. Do đó, \(\overrightarrow {OE} \bot \overrightarrow {OB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OE} .\left( { - 2\overrightarrow {OB} } \right) = - 4\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB}\)
Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra \(\widehat {SAB} = {60^0}\)
Suy ra: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB} = - a.a.\cos {60^0} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy điểm O và vẽ các vectơ\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \) (H.2.21).
a) Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \).
b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao \(\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {A'O'} + \overrightarrow {O'B'} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {A'O'} ;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O'B'} \)
Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \)
b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)
Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: \(\cos \widehat {A'O'B'} = \frac{{O'A{'^2} + O'B{'^2} - A'B{'^2}}}{{2.O'A'.O'B'}}\)
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow AB = A'B',\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {A'O'} \Rightarrow OA = O'A';\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O'B'} \Rightarrow OB = O'B'\)
Do đó, \(\cos \widehat {AOB} = \cos \widehat {A'O'B'} \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\)
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 55SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác \(\overrightarrow 0 \)), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}\left( {{0^0} \le \widehat {AOB} \le {{180}^0}} \right)\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng \({0^0}\).
Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng \({180^0}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 56SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}\left( {{0^0} \le \widehat {AOB} \le {{180}^0}} \right)\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên AA’B’B là hình chữ nhật. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \). Do đó: \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {B'BC} = {90^0}\) (do BB’C’C là hình chữ nhật)
Vì AA’B’B là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \widehat {C'A'B'}\).
Vì tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên \(\widehat {C'A'B'} = {60^0}\). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^0}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 56SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là \(a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, \(OE = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Suy ra: \(\overrightarrow {AS} = 2\overrightarrow {OE} \)
Vì O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OB} \)
Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, \(EB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(O{E^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}\) nên \(\Delta \)EOB vuông tại O. Do đó, \(\overrightarrow {OE} \bot \overrightarrow {OB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OE} .\left( { - 2\overrightarrow {OB} } \right) = - 4\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB}\)
Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra \(\widehat {SAB} = {60^0}\)
Suy ra: \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} = - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \widehat {SAB} = - a.a.\cos {60^0} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, \(A'C' = B'D' = \sqrt 2 \)
Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra \(\overrightarrow {B'D'} = 2\overrightarrow {E'D'} \) và \(E'D' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, \(\overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {E'E} \) và \(E'E = \frac{1}{2}A'C\)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)A’C’C vuông tại C’ có: \(A'C = \sqrt {A'C{'^2} + C'{C^2}} = \sqrt {2 + 1} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow E'E = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta \)D’C’E vuông tại C’ có:
\(ED{'^2} = C'D{'^2} + C'{E^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
Vì \(E'D{'^2} + E'{E^2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = ED{'^2}\) nên \(\Delta \)E’D’E vuông tại E’. Do đó, \(\overrightarrow {E'E} \bot \overrightarrow {E'D'} \)
Ta có: \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 2.\overrightarrow {E'E} .2.\overrightarrow {E'D'} \)\( = 0\) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 57SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Như đã biết, nếu có một lực \(\overrightarrow F \) tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} \), trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để giải thích: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hương của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\)
Vì lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right)\) lớn nhất. Do đó, \(\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = {0^0}\) . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.
Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số không chỉ giúp các em giải quyết các bài tập trong SGK mà còn là bước đệm quan trọng cho việc học tập các môn học liên quan đến toán học ở các cấp độ cao hơn.
Mục 4 bao gồm các nội dung chính sau:
Ví dụ: Tính \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}
Lời giải: Ta có thể phân tích tử thức thành x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Do đó:
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4
Các bài tập khác trên trang 54, 55, 56 cũng được giải tương tự, áp dụng các quy tắc tính giới hạn và các kỹ năng phân tích đa thức.
Ví dụ: Tính \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3}
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được:
\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2
Các bài tập tương tự đòi hỏi các em phải nắm vững các quy tắc tính giới hạn tại vô cùng và biết cách biến đổi biểu thức để đưa về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x \le 1 \\ 2x - 1 & \text{nếu } x > 1 \end{cases} tại điểm x = 1.
Lời giải: Để hàm số liên tục tại x = 1, ta cần có:
Ta có f(1) = 1^2 = 1. \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 và \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1. Do đó, hàm số liên tục tại x = 1.
Để học tốt mục 4, các em nên:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 4 trang 54, 55, 56 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập về giới hạn hàm số. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
