Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 54, 55, 56 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự học hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 54 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức chứa các bài tập vận dụng các kiến thức về đạo hàm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể. Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu:
Giải:
Giải:
y' = ex + 1/x
Trang 55 tập trung vào các bài tập về đạo hàm của hàm hợp và các ứng dụng cơ bản của đạo hàm.
Giải:
y' = 2(x2 + 1) * 2x = 4x(x2 + 1)
Trang 56 chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và kỹ năng giải toán.
Giải:
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Tính y'' = 6x - 6.
y''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ymax = 2.
y''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, ymin = -2.
Hy vọng bài giải chi tiết mục 1 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
