Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em học tập hiệu quả.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0\)
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\) nên (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\)
Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot \left( P \right)\). Mà \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương. Do đó, tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.\) nên \(N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)\)
b) Thay \(x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) ta có: \(A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\)
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} \)\( = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Góc quan sát ngang của một camera là \({115^0}\). Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)
Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:
\(R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot \left( P \right)\). Mà \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương. Do đó, tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.\) nên \(N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)\)
b) Thay \(x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) ta có: \(A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\)
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} \)\( = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0\)
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\) nên (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\)
Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Góc quan sát ngang của một camera là \({115^0}\). Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)
Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:
\(R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4\)
Mục 6 trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về Số phức. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản và kỹ năng giải bài tập liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải chi tiết các bài tập trong mục 6, trang 38 và 39, giúp các em hiểu rõ hơn về số phức và ứng dụng của nó.
Để giải bài tập này, các em cần nắm vững định nghĩa về phần thực và phần ảo của số phức. Số phức có dạng a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo.
Ví dụ: Số phức 3 - 2i có phần thực là 3 và phần ảo là -2.
Để thực hiện các phép tính trên số phức, các em cần áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức. Lưu ý rằng i2 = -1.
Ví dụ: (2 + 3i) + (1 - i) = (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i
Số phức liên hợp của số phức a + bi là a - bi. Để tìm số phức liên hợp, các em chỉ cần đổi dấu phần ảo.
Ví dụ: Số phức liên hợp của 5 + 4i là 5 - 4i.
Modun của số phức a + bi là √(a2 + b2). Để tính modun, các em cần bình phương phần thực và phần ảo, cộng lại, sau đó lấy căn bậc hai.
Ví dụ: Modun của 1 + i là √(12 + 12) = √2
Số phức không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong Toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên toan11.edu.vn sẽ giúp các em học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
