Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, cùng với phương pháp giải hiệu quả để nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập Toán 12 có thể gặp nhiều khó khăn. Do đó, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan11.edu.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, chi tiết, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\)
\(y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)
b) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)
\(y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) = - 1;y\left( 1 \right) = 1\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1\)
Bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về tích phân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
Đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần:
Việc phân tích đề bài một cách kỹ lưỡng là bước quan trọng để đưa ra phương pháp giải đúng đắn.
Để giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định các đường cong giới hạn hình phẳng. Giả sử các đường cong là y = f(x) và y = g(x).
Bước 2: Tìm giao điểm của các đường cong bằng cách giải phương trình f(x) = g(x). Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình, với x1 < x2. Đây sẽ là cận tích phân của chúng ta.
Bước 3: Tính diện tích hình phẳng S bằng công thức:
S = ∫x1x2 |f(x) - g(x)| dx
Trong đó, |f(x) - g(x)| là giá trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số. Điều này đảm bảo diện tích luôn dương.
Bước 4: Thực hiện tính tích phân xác định và thu được kết quả cuối cùng.
Giả sử đề bài cho hai đường cong y = x2 và y = 2x. Ta thực hiện các bước sau:
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x2 và y = 2x là 4/3.
Khi giải bài tập về diện tích hình phẳng, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về tích phân để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà toan11.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
