Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập Toán học đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \). b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Đề bài
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).
b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(AB = a\tan \alpha \). Khi quay tam giác AOB quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = AB = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = OA = a\).
Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .
b) Theo a ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).
Ta có: \(V' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Với \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \tan \alpha < 1\). Do đó, \(V' > 0\) nên hàm số V đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).
Vậy giá trị lớn nhất của V là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).
Bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2(x+2). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?)
Để giải bài tập này, ta cần phân tích dấu của đạo hàm f'(x) để xác định khoảng đồng biến của hàm số y = f(x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
| x | -∞ | -2 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| (x-1)^2 | + | + | + | + |
| x+2 | - | + | + | + |
| f'(x) | - | + | + | + |
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và các đề thi thử Toán 12.
Khi giải các bài tập về đạo hàm, bạn cần chú ý:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
