Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ, thuộc chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Đây là một chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học giải tích nâng cao hơn.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức về elip, hypebol và parabol một cách nhanh chóng và hiệu quả.
A. Lý thuyết 1. Elip a) Nhận biết elip
A. Lý thuyết
1. Elip
a) Nhận biết elip
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a > c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip đó. |
b) Phương trình chính tắc của elip
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. |
Chú ý:
- Elip (E) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\) và cắt Oy tại hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\).
- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\), \({B_1}\), \({B_2}\) gọi là các đỉnh của elip.
- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục nhỏ của elip.
- Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.
- Nếu \(M(x;y) \in (E)\) thì \(\left| x \right| \le a\), \(\left| y \right| \le b\).
2. Hypebol
a) Nhận biết hypebol
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực dương a < c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó. |
b) Phương trình chính tắc của hypebol
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. |
Chú ý:
- Hypebol (H) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\). Nếu vẽ hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\) vào hình chữ nhật \(O{A_2}P{B_2}\) thì \(OP = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = c\).
- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\) gọi là các đỉnh của hypebol.
- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục thực, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục ảo của hypebol.
- Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.
- Nếu \(M(x;y) \in (H)\) thì \(x \le - a\), \(x \ge a\).
3. Parabol
a) Nhận biết parabol
| Cho một điểm F cố định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. |
b) Phương trình chính tắc của parabol
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) (với p > 0). Ngược lại, mỗi phương trình trên là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(x + \frac{p}{2} = 0\). |
Chú ý:
- O gọi là đỉnh của parabol (P).
- Ox gọi là trục đối xứng của (P).
- p gọi là tham số tiêu của (P).
- Nếu \(M(x;y) \in (P)\) thì \(x \ge 0\) và \(M'(x; - y) \in (P)\)..
B. Bài tập
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = - 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của elip.
Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = - 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0 nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của hypebol.
Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?
a) \({y^2} = - 6x\)
b) \({y^2} = 6x\)
c) \({y^2} = - 6y\)
d) \({y^2} = 6y\)
Giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\), với p > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của parabol.
Bài 4: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải:
Ta có: \({a^2} = 25\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 3;0)\), \({F_2}(3;0)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\) nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 10.
Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có: \({a^2} = 9\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 5;0)\), \({F_2}(5;0)\) và tiêu cự là \(2c = 10\). Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2a = 2\sqrt 9 = 6\).
Bài 6: Cho parabol (P): \({y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải:
a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\).
b) Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3. Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).
Mặt khác \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}\).
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Bài 7: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là \({F_2}(5;0)\) và đi qua điểm M(0;3).
Giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Do \({F_2}(5;0)\) là một tiêu điểm của (E) nên c = 5.
Điểm M(0;3) nằm trên (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({b^2} = 9\).
Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 9 + 25 = 34\).
Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Bài 8: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm A(4;0).
Giải:
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > 0, b > 0).
Do \({F_2}(6;0)\) là một tiêu điểm của (H) nên c = 6.
Điểm A(4;0) nằm trên (H) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({a^2} = 16\).
Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {6^2} - 16 = 20\).
Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Bài 9: Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết:
a) (P) có tiêu điểm là F(5;0).
b) (P) đi qua điểm M(2;1).
Giải:
Parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\) (p > 0).
a) Do F(5;0) là tiêu điểm của (P) nên \(\frac{p}{2} = 5\), tức là p = 10.
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 20x\).
b) M(2;1) nằm trên (P) nên \({1^2} = 2p.2\), tức \(p = \frac{1}{4}\).
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = \frac{x}{2}\).
Ba đường conic, bao gồm elip, hypebol và parabol, là những đường cong quan trọng trong hình học giải tích. Chúng được định nghĩa dựa trên một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Việc hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và phương trình của ba đường conic này là rất quan trọng trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo.
Định nghĩa: Elip là tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số không đổi (2a, với a > 0).
Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 (với a > b > 0)
Tính chất:
Định nghĩa: Hypebol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số không đổi (2a, với a > 0).
Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (với a > 0, b > 0)
Tính chất:
Định nghĩa: Parabol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (tiêu điểm) bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định Δ (đường chuẩn).
Phương trình chính tắc: y^2 = 2px (với p > 0)
Tính chất:
Ba đường conic có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về ba đường conic, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
