Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và các phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
Chúng tôi tại toan11.edu.vn cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả và thú vị.
A. Lý thuyết 1. Tam thức bậc hai
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai
| Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai. |
Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.
- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).
- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).
- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó: - Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x). - Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x). |
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). - Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\). - Nếu \(\Delta = 0\) và \({x_0} = - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\). - Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó: + f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\). + f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\). |
Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:
B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).
B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).
B3: Xác định dấu của hệ số a.
B4: Xác định dấu của f(x).
B. Bài tập
Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.
A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)
B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)
C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)
D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)
Giải:
\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).
\(f(2) = - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.
Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:
a) \({x^2} + x + 1\).
b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).
c) \(2{x^2} + 6x - 8\).
Giải:
a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
b) \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).
c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:
Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).
Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong đại số, đặc biệt là khi giải các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai và các ứng dụng thực tế. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.
Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0. Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b2 - 4ac.
Biệt thức Δ đóng vai trò quan trọng trong việc xác định dấu của tam thức bậc hai:
Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x2 - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Biệt thức Δ = (-5)2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm: x1 = 1, x2 = 2. Vì a > 0, f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 2, và f(x) < 0 khi 1 < x < 2.
Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán sau:
Để củng cố kiến thức, hãy thực hiện các bài tập sau:
Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai là một công cụ quan trọng trong toán học. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
