Giải bài 1 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), nếu:

a) \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\);

b) \(\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\);

c) \(\tan \alpha = - \frac{{15}}{8}\) và \( - {90^0} < \alpha < {90^0}\);

d) \(\cot \alpha = - 2,4\) và \( - {180^0} < \alpha < {0^0}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = 1 \Rightarrow \cos \alpha \) \( = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \) \( = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)}^2}} \) \( = \pm \frac{3}{5}\)

Mà \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\).

Do đó, \(\cos \alpha \) \( = - \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha \) \( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \) \( = \frac{{\frac{{ - 4}}{5}}}{{\frac{{ - 3}}{5}}} \) \( = \frac{4}{3},\cot \alpha \) \( = \frac{1}{{\tan \alpha }} \) \( = \frac{3}{4}\)

b) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = 1 \Rightarrow \sin \alpha \) \( = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \) \( = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)}^2}} \) \( = \pm \frac{{60}}{{61}}\)

Mà \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\).

Do đó, \(\sin \alpha \) \( = \frac{{60}}{{61}}\), \(\tan \alpha \) \( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \) \( = \frac{{\frac{{60}}{{61}}}}{{\frac{{11}}{{61}}}} \) \( = \frac{{60}}{{11}},\cot \alpha \) \( = \frac{1}{{\tan \alpha }} \) \( = \frac{{11}}{{60}}\)

c) Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \) \( = 1 + {\tan ^2}\alpha \) \( = 1 + {\left( {\frac{{ - 15}}{8}} \right)^2} \) \( = \frac{{289}}{{64}} \Rightarrow \frac{1}{{\cos \alpha }} \) \( = \pm \frac{{17}}{8}\)

Mà \( - {90^0} < \alpha < {90^0}\) nên \(\cos \alpha > 0,\sin \alpha < 0\).

Do đó, \(\cos \alpha \) \( = \frac{8}{{17}},\cot \alpha \) \( = \frac{1}{{\tan \alpha }} \) \( = \frac{{ - 8}}{{15}},\sin \alpha \) \( = \tan \alpha .\cos \alpha \) \( = \frac{{ - 15}}{{17}}\).

d) Ta có: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \) \( = 1 + {\cot ^2}\alpha \) \( = 1 + {\left( { - 2,4} \right)^2} \) \( = \frac{{169}}{{25}} \Rightarrow \frac{1}{{\sin \alpha }} \) \( = \pm \frac{{13}}{5}\)

Mà \( - {180^0} < \alpha < {0^0}\) nên \(\cos \alpha > 0,\sin \alpha < 0\).

Do đó, \(\sin \alpha \) \( = - \frac{5}{{13}},\tan \alpha \) \( = \frac{1}{{\cot \alpha }} \) \( = \frac{{ - 5}}{{12}},\cos \alpha \) \( = \cot \alpha .\sin \alpha \) \( = \frac{{12}}{{13}}\).