Giải bài 5 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Vận tốc \({v_1}\left( {cm/s} \right)\) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc \({v_2}\left( {cm/s} \right)\) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi các công thức:

\({v_1}\left( t \right) \) \( = - 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)\) và \({v_2}\left( t \right) \) \( = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\)

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2cm/s.

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai.

Lời giải chi tiết

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2cm/s khi:

\( - 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = 2 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{ - 1}}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \\t = \frac{{ - 11\pi }}{8} + k3\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vì \(t > 0\) nên \(t \) \( = \frac{{5\pi }}{8} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) hoặc \(t \) \( = \frac{{13\pi }}{8} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai khi:

\( - 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = 2.2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = - \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} + \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \cos \left( {2t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2t + \frac{{2\pi }}{3} = - \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 5\pi }}{{16}} + \frac{{k3\pi }}{2}\\t = \frac{{ - 11\pi }}{{32}} + \frac{{k3\pi }}{4}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vì \(t > 0\) nên \(t \) \( = \frac{{19\pi }}{{16}} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) hoặc \(t \) \( = \frac{{13\pi }}{{32}} + \frac{{k3\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)