Giải bài 81 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{x}{{x - 2}}\);

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}}\);

d) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 4;2} \right),\left( { - 2;5} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {2;1} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\).

Do đó, đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(O\left( {0;0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - 1} \right),\left( {3;3} \right),\left( {4;2} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}} \Leftrightarrow y = - x + 1 + \frac{1}{{ - x + 1}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{ - x + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{ - x + 1}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y = - x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){{\left( { - x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\); đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CĐ}} = -2\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;2} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right),\left( {0;2} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( {3; - \frac{5}{2}} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;0} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

d) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}} \Leftrightarrow y = x - \frac{3}{{x + 2}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3}}{{x + 2}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3}}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 5; - 4} \right),\left( { - 3;0} \right),\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0; - \frac{3}{2}} \right),\left( {1;0} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;0} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.