Giải bài 63 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}}\);

b) \(y = - 3 + \frac{5}{{x - 4}}\);

c) \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}}\);

d) \(y = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{3}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{3}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = - \infty \)

Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) = + \infty \)

Vậy \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) = - 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) = - 3\)

Vậy \(y = - 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = - \infty \)

Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = 0\)

Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = - \infty \)

Vậy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = - 2\)

Vậy \(y = - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.