Giải bài 3.22 trang 51 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 3.22 trang 51 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3.22 trang 51 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số bậc ba bằng phương pháp đạo hàm. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số bậc ba thường có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
2. Tính đạo hàm bậc nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn (x₁, x₂, ...).
4. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến: Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
5. Tính đạo hàm bậc hai: Tính đạo hàm f''(x) của hàm số.
6. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn.
7. Xác định tính lồi và lõm: Xét dấu đạo hàm f''(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm uốn để xác định khoảng lồi và lõm của hàm số.
8. Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên để có cái nhìn tổng quan về sự biến đổi của hàm số.
9. Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng bảng biến thiên và các điểm đặc biệt (điểm cực trị, điểm uốn, giao điểm với các trục tọa độ) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải quyết bài toán:

• Tập xác định: R
• Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x² - 6x
• Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Khoảng đồng biến và nghịch biến:
  • f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞)
  • f'(x) < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
• Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
• Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
• Tính lồi và lõm:
  • f''(x) < 0 khi x < 1 => Hàm số lõm trên (-∞, 1)
  • f''(x) > 0 khi x > 1 => Hàm số lồi trên (1, +∞)

Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về khảo sát hàm số bằng phương pháp đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:

• Kiểm tra kỹ các bước tính đạo hàm để tránh sai sót.
• Xác định đúng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, lồi, lõm.
• Sử dụng bảng biến thiên để có cái nhìn tổng quan về sự biến đổi của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, chú ý đến các điểm đặc biệt.

Tổng kết

Bài 3.22 trang 51 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bằng cách thực hiện các bước trên một cách cẩn thận và chính xác, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và nắm vững kiến thức về khảo sát hàm số.