Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 7.19 trang 34 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng và dễ hiểu.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(a\).
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BM\) tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow AH \bot CD\)
Kết hợp \(AH \bot BM \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là \(CD\).
Nhận xét \(AM \bot CD,BM \bot CD\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\widehat {AMB}\).
Tính \(\widehat {AMB}\)
Lời giải chi tiết
a) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CD \bot BM\), \(CD \bot AM\), do đó \(CD \bot \left( {ABM} \right)\), suy ra \(CD \bot AH\), ta lại có \(AH \bot BM\) nên \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).
b) Vì \(AM \bot CD,BM \bot CD\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BM\), mà \(\left( {AM,BM} \right) = \widehat {AMB}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\widehat {AMB}\).
Ta có: \(HM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), tam giác \(AHM\) vuông tại \(H\) nên \({\rm{cos}}\widehat {AMB} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{1}{3}\).
Bài 7.19 trang 34 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác và các tính chất của hình bình hành. Đây là một bài tập quan trọng giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian.
Bài tập 7.19 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập 7.19 hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Câu a: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có: overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}. Do đó, overrightarrow{BC} = 2overrightarrow{BM}. Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC} +overrightarrow{CA} =overrightarrow{AB} + 2overrightarrow{BM} +overrightarrow{CA}
Vì overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}, ta có overrightarrow{BC} = 2overrightarrow{BM}. Suy ra overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2 (đpcm).
Câu b: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng: overrightarrow{AG} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/3
Lời giải:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: overrightarrow{AG} = (2/3)overrightarrow{AM}, với M là trung điểm của BC. Từ câu a, ta có overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2. Do đó:
overrightarrow{AG} = (2/3) * (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2 = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/3 (đpcm).
Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 7.19 trang 34 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng trên đây, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
