Giải bài 13 trang 90 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo mỗi góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\widehat A = 3\widehat C\) và \(\widehat B = 5\widehat D\);

b) \(\widehat A - \widehat C = {12^o}\) và \(\widehat D - \widehat B = {76^o}\)

c) \(\widehat A = 7\widehat B\) và \(\widehat A + 2\widehat B = {180^o}\)

d) \(\widehat D - \widehat C = {20^o}\) và \(\widehat D + \widehat C = {100^o}\)

Lời giải chi tiết

a) \(\widehat A = 3\widehat C\) và \(\widehat B = 5\widehat D\)

Ta có \(\widehat A + \widehat C = {180^o}\) suy ra

\(\begin{array}{l}3\widehat C + \widehat C = {180^o}\\4\widehat C = {180^o}\\\widehat C = {45^o}\end{array}\)

Suy ra \(\widehat A = {3.45^o} = {135^o}\).

Ta có \(\widehat B + \widehat D = {180^o}\) suy ra

\(\begin{array}{l}5\widehat D + \widehat D = {180^o}\\6\widehat D = {180^o}\\\widehat D = {30^o}\end{array}\)

Suy ra \(\widehat B = {5.30^o} = {150^o}\).

b) \(\widehat A - \widehat C = {12^o}\) và \(\widehat D - \widehat B = {76^o}\)

Suy ra \(\widehat A = {12^o} + \widehat C\) và \(\widehat D = {76^o} + \widehat B\)

Ta có

 \(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {180^o}\\{12^o} + \widehat C + \widehat C = {180^o}\\2\widehat C = {180^o} - {12^o}\\\widehat C = {84^o}\end{array}\)

Suy ra \(\widehat B = {135^o} - {84^o} = {51^o}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\widehat B + \widehat D = {180^o}\\\widehat B + {76^o} + \widehat B = {180^o}\\2\widehat B = {180^o} - {76^o}\\\widehat B = {52^o}\end{array}\)

Suy ra \(\widehat D = {135^o} - {52^o} = {83^o}\)

c) \(\widehat A = 7\widehat B\) và \(\widehat A + 2\widehat B = {180^o}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A - 7\widehat B = 0}\\{\widehat A + 2\widehat B = {{180}^o}}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\widehat A = {140^o}\);\(\widehat B = {20^o}\) suy ra \(\widehat C = {180^o} - {140^o} = {40^o}\); \(\widehat D = {180^o} - {20^o} = {160^o}\)

d) \(\widehat D - \widehat C = {20^o}\) và \(\widehat D + \widehat C = {100^o}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat D - \widehat C = {{20}^o}}\\{\widehat D + \widehat C = {{100}^o}}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\widehat D = {60^o}\);\(\widehat C = {40^o}\) suy ra \(\widehat B = {180^o} - {60^o} = {120^o}\); \(\widehat A = {180^o} - {40^o} = {140^o}\).