Bài 4.15 trang 46 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm hiểu và giải quyết các vấn đề cụ thể.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 4.15 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin(alpha ), cos(alpha ), tan(alpha ), cot(alpha ), hãy chứng minh rằng: a) (tanalpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }},cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}); b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}).
Đề bài
Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin\(\alpha \), cos\(\alpha \), tan\(\alpha \), cot\(\alpha \), hãy chứng minh rằng:
a) \(\tan\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\);
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) - Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng \(\alpha \). Ta có:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của \(\alpha \).
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là cos của \(\alpha \).
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề gọi là tan của \(\alpha \).
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối gọi là cot của \(\alpha \).
b) + Áp dụng định Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}$.
+ Chứng minh được \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác sin\(\alpha \), cos\(\alpha \).
+ Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \)
Lời giải chi tiết
Kí hiệu: cạnh huyền: CH, cạnh đối: CĐ, cạnh kề: CK.
Theo định nghĩa ta có: $\sin \alpha =\frac{CĐ}{CH},\cos \alpha =\frac{CK}{CH},\tan \alpha =\frac{CĐ}{CK},\cot \alpha =\frac{CK}{CĐ}.$
a) Ta có:
\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{CĐ}{CH}}{\frac{CK}{CH}}=\frac{CĐ}{CK}=\tan \alpha ;\\\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{CK}{CH}}{\frac{CĐ}{CH}}=\frac{CK}{CĐ}=\cot \alpha .\)
b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}$
Ta có:
${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{C{{Đ}^{2}}}{C{{H}^{2}}}+\frac{C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}\\=\frac{{{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=\frac{C{{H}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=1.$
Do đó, \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \).
Bài 4.15 trang 46 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc xác định hàm số bậc nhất và ứng dụng vào việc dự đoán giá trị.
Một người nông dân trồng cam. Gọi x là số lượng cam thu hoạch được (tính bằng kg) và y là số tiền người đó nhận được (tính bằng nghìn đồng). Hãy viết công thức tính y theo x, biết rằng:
Để tìm công thức tính y theo x, ta cần xác định hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b. Ta có hai điểm thuộc đồ thị hàm số là (10, 50) và (20, 100).
Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình y = ax + b, ta được hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta có:
Trừ phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:
100 - 50 = (20a + b) - (10a + b)
50 = 10a
a = 5
Thay a = 5 vào phương trình (1), ta được:
50 = 10 * 5 + b
50 = 50 + b
b = 0
Vậy, công thức tính y theo x là y = 5x.
Với mỗi kg cam thu hoạch được, người nông dân nhận được 5 nghìn đồng. Công thức y = 5x cho phép ta tính toán số tiền người nông dân nhận được khi thu hoạch được một lượng cam bất kỳ.
Bài toán này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của hàm số bậc nhất trong thực tế. Việc xác định hàm số dựa trên các điểm đã biết là một kỹ năng quan trọng trong toán học và có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Ngoài ra, học sinh có thể mở rộng bài toán bằng cách thay đổi các điều kiện ban đầu và tìm ra công thức tính y theo x mới. Ví dụ, nếu giá cam thay đổi, ta cần tìm hàm số mới để phản ánh sự thay đổi này.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 4.15 trang 46 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 và tự tin giải các bài tập tương tự. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
