Bài 5.21 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 9. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH; b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A); c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A); d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết (HB = 2cm) và (HC = 4,5cm).
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.
a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;
b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);
c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);
d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết \(HB = 2cm\) và \(HC = 4,5cm\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chỉ ra \(AH \bot BC\) tại H, H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) + Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta AHB\left( {c.c.c} \right)\).
Do đó, \(\widehat {AMB} = \widehat {AHB} = {90^o}\).
+ Chứng minh M thuộc đường tròn (A). Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
+ Chứng minh \(\Delta ANC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)\).
Do đó, \(\widehat {ANC} = \widehat {AHC} = {90^o}\).
+ Chỉ ra N thuộc đường tròn (A).
+ Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) + Chứng minh \(\widehat {MAB} = \widehat {HAB}\), \(\widehat {NAC} = \widehat {HAC}\), \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {90^o}\).
+ Do đó, \(\widehat {MAB} + \widehat {HAB} + \widehat {NAC} + \widehat {HAC} = {180^o}\)
+ Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng. Vậy MN là đường kính của (A).
d) + Chứng minh \(BM = BH\), \(CN = CH\).
+ Do đó, \(BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5\left( {cm} \right)\)
+ Chứng minh $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\), từ đó tính được AH, tính được MN.
+ Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.
+ Diện tích hình thang BMNC là: \(S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(AH \bot BC\) tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) Vì M đối xứng với H qua AB nên \(AM = AH\) và \(BM = BH\), AB chung nên \(\Delta AMB = \Delta AHB\left( {c.c.c} \right)\).
Do đó, \(\widehat {AMB} = \widehat {AHB} = {90^o}\).
Lại có \(AM = AH\) nên M thuộc đường tròn (A).
Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
Vì N đối xứng với H qua AC nên \(CN = CH\) và \(AH = AN\), AC chung nên \(\Delta ANC = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)\).
Do đó, \(\widehat {ANC} = \widehat {AHC} = {90^o}\).
Lại có \(AH = AN\) nên N thuộc đường tròn (A).
Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) Vì \(\Delta AMB = \Delta AHB\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {MAB} = \widehat {HAB}\).
Vì \(\Delta ANC = \Delta AHC\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {NAC} = \widehat {HAC}\).
Vì \(AH \bot BC\) tại H nên \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {90^o}\).
Do đó, \(\widehat {MAB} + \widehat {HAB} + \widehat {NAC} + \widehat {HAC} \) \(= 2\left( {\widehat {HAB} + \widehat {HAC}} \right) \) \(= {2.90^o} = {180^o}\)
Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Mà \(AM = AN\left( { = AH} \right)\) nên MN là đường kính của (A).
d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên \(BM = BH\).
Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên \(CN = CH\).
Do đó, \(BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5\left( {cm} \right)\).
Ta có:
\(\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {ACH} + \widehat {ABC}\\\left( { = {{90}^o}} \right)\) nên \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\).
Mà \(\widehat {BHA} = \widehat {CHA} = {90^o}\) nên $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$
nên \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\),
suy ra \(A{H^2} = BH.CH = 4,5.2 = 9\).
Suy ra \(AH = 3cm\).
Do đó, \(MN = 2AH = 6cm\).
Ta có: \(BM \bot MN,CN \bot MN\) nên BM//NC.
Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.
Diện tích hình thang BMNC là:
\(S = \frac{1}{2}MN\left( {BM + CN} \right) = \frac{1}{2}.6.6,5 = 19,5\left( {c{m^2}} \right)\).
Bài 5.21 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 thuộc chương trình học Toán 9, tập trung vào việc ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường mô phỏng các tình huống quen thuộc trong cuộc sống, đòi hỏi học sinh phải phân tích đề bài, lập hệ phương trình và giải để tìm ra nghiệm.
Trước khi bắt đầu giải bài, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố sau:
Sau khi phân tích đề bài, bước tiếp theo là lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Để làm được điều này, bạn cần:
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm:
Sau khi giải được hệ phương trình, bạn cần kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay các giá trị tìm được vào các phương trình ban đầu để đảm bảo chúng thỏa mãn.
Giả sử đề bài yêu cầu giải bài toán sau:
“Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1 giờ, người đó tăng vận tốc lên 50km/h và đến B muộn hơn 30 phút so với dự kiến. Tính quãng đường AB.”
Giải:
x/40 - (1 + (x-40)/50) = 0.5
Giải phương trình trên, ta được x = 200.
Thay x = 200 vào các phương trình ban đầu, ta thấy nghiệm thỏa mãn.
Vậy quãng đường AB là 200km.
Giải bài 5.21 trang 65 Sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 đòi hỏi sự hiểu biết về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và khả năng ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
