Bài 6 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết

Bài 6 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đặc biệt là các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị để giải quyết các bài toán cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:

Phần 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và phân tích dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

1. Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x² - 4x + 3. Đạo hàm của hàm số là f'(x) = 2x - 4.
2. Giải:
   • f'(x) = 0 khi 2x - 4 = 0, suy ra x = 2.
   • Khi x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 2).
   • Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).

Phần 2: Tìm cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó. Để tìm cực trị, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, sau đó xét dấu của đạo hàm để xác định loại cực trị.

1. Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số g(x) = x³ - 3x² + 2.
2. Giải:
   • g'(x) = 3x² - 6x.
   • g'(x) = 0 khi 3x² - 6x = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 2.
   • Xét dấu của g'(x):
     • Khi x < 0, g'(x) > 0.
     • Khi 0 < x < 2, g'(x) < 0.
     • Khi x > 2, g'(x) > 0.
   • Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Phần 3: Ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế

Đạo hàm không chỉ được sử dụng để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số mà còn có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như bài toán tối ưu hóa.

Ví dụ 3: Một người nông dân muốn xây dựng một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chuồng trại cần có kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?

Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của chuồng trại là x và y. Ta có diện tích chuồng trại là xy = 100. Chu vi của chuồng trại là P = 2(x + y). Để sử dụng ít vật liệu nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P. Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được P = 2(x + 100/x). Đạo hàm của P là P'(x) = 2(1 - 100/x²). Đặt P'(x) = 0, ta được x = 10. Khi đó y = 100/10 = 10. Vậy chuồng trại cần có kích thước 10m x 10m để sử dụng ít vật liệu nhất.

Kết luận

Bài 6 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và các ứng dụng của đạo hàm. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải quyết bài tập trong bài học này sẽ là nền tảng vững chắc cho các bài học tiếp theo.