Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 82 và 83 của sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).
a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.
b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.
Phương pháp giải:
a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm.
b) Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Lời giải chi tiết:
a) • \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\)
ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)
Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
• \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \)
ĐKXĐ: \(4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\)
Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;4} \right]\).
b) • Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\).
Tương tự ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Ta có: Hàm số không xác định tại điểm \({x_0} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} = - \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
• Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {4 - {x_0}} = g\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\).
Ta có: \(g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x} = \sqrt {4 - 4} = 0 = g\left( 4 \right)\)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 4\).
Hàm số không xác định tại mọi \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \).
Phương pháp giải:
Để tính xét tính liên tục của hàm số, ta tìm những khoảng xác định của hàm số đó.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\)
Vậy hàm số có TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{2^2} - 4} = 0 = f\left( 2 \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) liên tục trên các nửa khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right]\) và \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( 0 \right)\).
Bước 3: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Bước 4: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).
Lời giải chi tiết:
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - 2\).
Vậy với \(a = - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Một hãng taxi đưa ra giá cước \(T\left( x \right)\) (đồng) khi đi quãng đường \(x\) (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
\(T\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000}&{khi\,\,0 < x \le 0,7}\\{ - 10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000}&{khi{\rm{ }}0,7 < x \le 20}\\{280200 + \left( {x--20} \right).12000}&{khi{\rm{ }}x > 20}\end{array}} \right.\)
Xét tính liên tục của hàm số \(T\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \({x_0} = 0,7\) và \({x_0} = 20\).
Bước 4: Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(T\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(T\left( x \right)\) xác định trên từng khoảng \(\left( {0;0,7} \right),\left( {0,7;20} \right)\) và \(\left( {20; + \infty } \right)\) nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.
Ta có: \(T\left( {0,7} \right) = 10000\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {0,7 - 0,7} \right).14000 = 10000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} 10000 = 10000\end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = 10000\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,7} T\left( x \right) = 10000 = T\left( {0,7} \right)\).
Vậy hàm số \(T\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0,7\).
Ta có: \(T\left( {20} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} \left( {280200 + \left( {x - 20} \right).12000} \right) = 280200 + \left( {20 - 20} \right).12000 = 280200\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200\end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = 280200\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} T\left( x \right) = 280200 = T\left( {20} \right)\).
Vậy hàm số \(T\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 20\).
Vậy hàm số \(T\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về phép biến hình affine. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học, mở rộng phạm vi nghiên cứu từ các phép biến hình đơn giản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng đến các phép biến hình phức tạp hơn. Việc nắm vững kiến thức về phép biến hình affine giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về cấu trúc và tính chất của các hình hình học.
Để tìm ảnh của điểm M(2, -1) qua phép biến hình affine f(x, y) = (x + 3y, 2x - y), ta thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức của phép biến hình:
f(2, -1) = (2 + 3(-1), 2(2) - (-1)) = (2 - 3, 4 + 1) = (-1, 5)
Vậy ảnh của điểm M(2, -1) qua phép biến hình affine f(x, y) = (x + 3y, 2x - y) là điểm M'(-1, 5).
Để tìm ảnh của tam giác ABC qua phép biến hình affine f(x, y) = (x + y, x - y), ta tìm ảnh của từng đỉnh A, B, C:
Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép biến hình affine f(x, y) = (x + y, x - y) là tam giác A'B'C' với A'(0, 0), B'(1, 1), C'(1, -1).
Gọi S là diện tích của một hình bất kỳ. Khi áp dụng phép biến hình affine f(x, y) = (ax + by + c, dx + ey + f) lên hình đó, diện tích của hình mới sẽ là S'. Ta có thể chứng minh rằng S' = |ad - bc|S. Điều này chứng tỏ rằng phép biến hình affine bảo toàn diện tích (chỉ khác hệ số tỉ lệ).
Mục 3 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép biến hình affine. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và hiểu sâu sắc hơn về cấu trúc của các hình hình học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, bạn sẽ học tập tốt môn Toán 11.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
