Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại hàm số, tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể.

Nội dung chính của Bài 6 trang 24

• Câu 1: Xác định tính đơn điệu của hàm số.
• Câu 2: Tìm cực trị của hàm số.
• Câu 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• Câu 4: Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế.

Giải chi tiết Bài 6 trang 24

Câu 1: Xác định tính đơn điệu của hàm số

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta cần tính đạo hàm f'(x) và xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Ví dụ: Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Ta có f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Xét dấu f'(x), ta thấy:

• f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2.
• f'(x) < 0 khi 0 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số

Để tìm cực trị của hàm số, ta cần giải phương trình f'(x) = 0 và xét dấu của f'(x) xung quanh các nghiệm. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm x₀, thì hàm số đạt cực đại tại x₀. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm x₀, thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.

Ví dụ: Tiếp tục xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Ta đã có f'(x) = 3x(x - 2). Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.

• Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
• Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.

Câu 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Khi giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét các trường hợp khác nhau dựa trên dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Giải phương trình |x - 1| = 2. Ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x - 1 ≥ 0, tức là x ≥ 1. Khi đó |x - 1| = x - 1, phương trình trở thành x - 1 = 2, suy ra x = 3. Vì 3 ≥ 1, nên x = 3 là nghiệm.
• Trường hợp 2: x - 1 < 0, tức là x < 1. Khi đó |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x, phương trình trở thành 1 - x = 2, suy ra x = -1. Vì -1 < 1, nên x = -1 là nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 và x = -1.

Câu 4: Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế

Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế, như tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng, tối ưu hóa một hàm số, hoặc xác định khoảng giá trị của một biến số.

Ví dụ: Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t² - 2t + 3, trong đó s(t) là quãng đường vật đi được sau thời gian t. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 2.

Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: v(t) = s'(t) = 2t - 2. Tại thời điểm t = 2, vận tốc của vật là v(2) = 2(2) - 2 = 2.

Kết luận

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số, đạo hàm và ứng dụng của chúng. Việc nắm vững các khái niệm và phương pháp giải bài tập trong bài này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học tập các chương trình Toán 11 và các chương trình nâng cao sau này.