Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 tại toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13).
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).
- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.
- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:
\(Ax + By + Cz + D = 0,\)
trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)
Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)
Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)
Khai triển:
\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)
do đó:
\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)
Thay vào phương trình tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)
Vậy ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)
Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)
b)
Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:
\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)
với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:
\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)
Suy ra:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);
b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:
\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:
\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)
b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:
Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?
Phương pháp giải:
- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.
- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.
- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.
- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.
Lời giải chi tiết:
Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:
\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)
Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:
\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)
Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:
\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)
Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:
\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)
Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).
Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:
\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)
\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)
Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là rất cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Để hiểu rõ hơn về nội dung của mục 4, chúng ta cần xem xét các khái niệm và định lý chính được trình bày trong SGK. Thông thường, mục này sẽ bao gồm:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2:
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, giải thích và kết luận)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, giải thích và kết luận)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể)
Lời giải: (Giải chi tiết bài tập, bao gồm các bước thực hiện, giải thích và kết luận)
Trong mục 4, các em có thể gặp các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập Toán 12 hiệu quả, các em nên:
Kiến thức trong mục 4 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán về tối ưu hóa, mô hình hóa và dự báo.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 tại toan11.edu.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập Toán 12. Chúc các em học tập tốt!
| Bài tập | Độ khó | Lời giải |
|---|---|---|
| Bài 1 | Dễ | (Link đến lời giải chi tiết) |
| Bài 2 | Trung bình | (Link đến lời giải chi tiết) |
| Bài 3 | Khó | (Link đến lời giải chi tiết) |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
