Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 tại toan11.edu.vn. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán về hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản, tính chất và ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian, giúp bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả vào quá trình học tập và làm bài tập.
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, hệ ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
Lưu ý:
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ
- Ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao
- Ba mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz) đôi một vuông góc với nhau, được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
- Ta quy ước gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) tương ứng là ba vecto đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz. Từ nay trở đi, nếu không nói gì thêm thì ta hiểu Không gian Oxyz đã có bộ ba vecto đơn vị trên các trục là \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \). Vì các vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên:
\({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow j .\overrightarrow k = \overrightarrow k .\overrightarrow i = 0\)
2. Tọa độ của một điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
3. Tọa độ của vecto
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \[\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) Trong không gian Oxyz, nếu \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\) thì: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9).
Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \).
Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8).
Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và vector trong không gian ba chiều. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc, phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian.
Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian là tập hợp ba trục vuông góc với nhau tại một điểm gốc O. Trục Ox, Oy, Oz lần lượt là trục hoành, trục tung, trục cao. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ (x, y, z), trong đó x, y, z là hình chiếu vuông góc của điểm đó lên các trục Ox, Oy, Oz.
a. Tọa độ của điểm: Điểm M trong không gian có tọa độ M(x, y, z). Tọa độ của điểm M là giá trị của hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz.
b. Tọa độ của vector: Vector a có tọa độ a = (x, y, z). Tọa độ của vector a là hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu của vector.
a. Phép cộng vector: Cho hai vector a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2). Khi đó, a + b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
b. Phép trừ vector: Cho hai vector a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2). Khi đó, a - b = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
c. Phép nhân vector với một số thực: Cho vector a = (x, y, z) và số thực k. Khi đó, ka = (kx, ky, kz).
Tích vô hướng của hai vector a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Tích vô hướng được sử dụng để tính góc giữa hai vector và kiểm tra tính vuông góc của hai vector.
Tích có hướng của hai vector a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) là một vector c = a x b, có tọa độ được tính bằng công thức:
c = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2).
Tích có hướng được sử dụng để tính diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vector và tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vector.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
