Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của toan11.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu bộ tài liệu giải chi tiết các bài tập trong mục 1, bao gồm các trang 11, 12, 13 và 14 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ kiến thức, nắm vững phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây. a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\). b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). Gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng \(L = s(5) - s(3)\).
b) Gọi \(F(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). So sánh \(L\) và \(F(5) - F(3)\).
Phương pháp giải:
a) Đại lượng \(L = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). So sánh \(L\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
Lời giải chi tiết:
a) \(L = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) Ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). Tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C\)
Do đó:
\(F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
Do đó, \(L = F(5) - F(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\) khi \(t = 4\) (Hình 4.3b).
b) Tìm hàm số \(S(t)\) biểu thị diện tích của hình \((H)\) với \(t \in [1;4]\).
c) Chứng minh \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(S = S(4) - S(1)\).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(S(t)\).
c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(S(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((H)\) là:
\(S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
Trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
Do đó:
\(S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) Diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
Trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) Do đó:
\(S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) Chứng minh \(S(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(S(t) = {t^2} + t - 2\)
Lấy đạo hàm của \(S(t)\):
\(S'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
Do đó, \(S(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). Cuối cùng, diện tích \(S = S(4) - S(1)\) được tính như sau:
\(S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(S = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).
Phương pháp giải:
a)
- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).
- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng công thức tích phân:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)
Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)
\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)
b)
Ta có:
\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)
Và:
\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)
Từ đây, dễ thấy rằng:
\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)
Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- Áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a)
Tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
Thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
Kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
Tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C\)
Do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(F(u) = \sin u\). Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
Thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
Kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(F(0) = 0\). Tính \(F(1)\).
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(F(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)\)
trong đó, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
Lời giải chi tiết:
Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)\)
Suy ra:
\(F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (Hình 4.6).
Phương pháp giải:
- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
Lời giải chi tiết:
Thiết lập tích phân:
\(S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C\)
Do đó, diện tích cần tìm là:
\(S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
Tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình, ví dụ như dãy số, giới hạn, hoặc đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là nền tảng để học tốt các kiến thức tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong các trang 11, 12, 13 và 14, giúp các em hiểu rõ bản chất của vấn đề và cách tiếp cận hiệu quả.
Trang 11 thường chứa các bài tập về lý thuyết và bài tập áp dụng kiến thức cơ bản. Chúng ta sẽ bắt đầu với việc ôn lại các khái niệm quan trọng liên quan đến chủ đề của mục 1. Sau đó, chúng ta sẽ giải từng bài tập một cách chi tiết, bao gồm cả các bước giải và giải thích rõ ràng.
Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = (2n + 1) / (n + 3).
Giải:
Các trang 12, 13 và 14 thường chứa các bài tập phức tạp hơn, đòi hỏi các em phải vận dụng kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết. Chúng ta sẽ tiếp tục giải từng bài tập một cách chi tiết, đồng thời cung cấp các mẹo và thủ thuật để giúp các em giải bài tập nhanh chóng và chính xác.
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Ngoài SGK Toán 12 tập 2, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với bộ tài liệu giải bài tập mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 này, các em sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc các em thành công!
| Chủ đề | Nội dung |
|---|---|
| Dãy số | Khái niệm, tính chất, các loại dãy số đặc biệt. |
| Giới hạn | Khái niệm, các định lý về giới hạn. |
| Đạo hàm | Khái niệm, các quy tắc tính đạo hàm. |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
