Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 tại toan11.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Bài giải này được xây dựng dựa trên chương trình học Toán 12 tập 1 hiện hành, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với nội dung sách giáo khoa.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3) b) (y = f(x) = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón
- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r
- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, \( + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
Ta có thể tích khối trụ là:
\(V = \pi {r^2}h\)
Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:
\(\frac{h}{8} = \frac{{6 - r}}{6} \to h = 8.\frac{{6 - r}}{6} = 8 - \frac{{8r}}{6} = 8 - \frac{{4r}}{3}\)
Thay h vào công thức tính thể tích V:
\(V = \pi {r^2}\left( {8 - \frac{{4r}}{3}} \right) = \pi {r^2} \cdot \frac{{24 - 4r}}{3} = \pi \cdot \frac{{24{r^2} - 4{r^3}}}{3} = \frac{\pi }{3}\left( {24{r^2} - 4{r^3}} \right)\)
Đạo hàm V theo r:
\(\frac{{dV}}{{dr}} = \frac{\pi }{3}\left( {48r - 12{r^2}} \right) = \frac{\pi }{3} \cdot 12r(4 - r) = 4\pi r(4 - r)\)
Với \(\frac{{dV}}{{dr}} = 0\) thì ta có 2 nghiệm r là \(r = 0\) hoặc \(r = 4\) (Loại \(r = 0\) vì \(r > 0\))
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{\pi }{3}\left( {24{x^2} - 4{x^3}} \right)\)
Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất
Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).
Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .\)
Ta có:
\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R
Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).
Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .\)
Ta có:
\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R
Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón
- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r
- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, \( + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
Ta có thể tích khối trụ là:
\(V = \pi {r^2}h\)
Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:
\(\frac{h}{8} = \frac{{6 - r}}{6} \to h = 8.\frac{{6 - r}}{6} = 8 - \frac{{8r}}{6} = 8 - \frac{{4r}}{3}\)
Thay h vào công thức tính thể tích V:
\(V = \pi {r^2}\left( {8 - \frac{{4r}}{3}} \right) = \pi {r^2} \cdot \frac{{24 - 4r}}{3} = \pi \cdot \frac{{24{r^2} - 4{r^3}}}{3} = \frac{\pi }{3}\left( {24{r^2} - 4{r^3}} \right)\)
Đạo hàm V theo r:
\(\frac{{dV}}{{dr}} = \frac{\pi }{3}\left( {48r - 12{r^2}} \right) = \frac{\pi }{3} \cdot 12r(4 - r) = 4\pi r(4 - r)\)
Với \(\frac{{dV}}{{dr}} = 0\) thì ta có 2 nghiệm r là \(r = 0\) hoặc \(r = 4\) (Loại \(r = 0\) vì \(r > 0\))
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{\pi }{3}\left( {24{x^2} - 4{x^3}} \right)\)
Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất
Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.
Mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, bao gồm các dạng bài tập tính đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, và các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để học tốt các chương trình Toán học nâng cao hơn.
Mục 2 trang 26 thường bao gồm các bài tập sau:
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm, các em cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, hàm hợp), và các ứng dụng của đạo hàm (khảo sát hàm số, tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình).
Các em cần nắm vững quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, và quy tắc đạo hàm hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong Toán học, bao gồm:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
y' = (x3)' + 2(x2)' - 5(x)' + (1)' = 3x2 + 4x - 5 + 0 = 3x2 + 4x - 5.
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Giải:
y' = 3x2 - 6x.
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu y', ta thấy:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, ymax = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, ymin = -2.
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 tại toan11.edu.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải toán. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
