Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những phương pháp giải toán tối ưu, giúp bạn hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:
\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó:
\(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
c) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:
\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).
Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):
\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):
\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)
b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA} = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:
\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)
- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:
\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {SD} \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):
\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 = - 6\)
- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):
\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 4} = \sqrt {13} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Vậy: \(\sin \theta = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC} = (1;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):
\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):
\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)
Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:
\(\cos \alpha = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):
\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)
- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):
\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {36 + 0 + 9} = \sqrt {45} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {0 + 4 + 9} = \sqrt {13} \)
Vậy: \(\cos \alpha = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)
Bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, cụ thể là phần ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số trong chương trình Toán 12.
Thông thường, bài tập 5.44 sẽ đưa ra một hàm số và yêu cầu:
Để giải quyết bài tập 5.44 một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm:
Bước 3: Điểm cực trị:
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu y':
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| Hàm số | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2.
Bước 4: Khoảng đơn điệu:
Bước 5: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, bạn có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự. Chúc bạn học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
