Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 trên toan11.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Mục tiêu của chúng tôi là hỗ trợ các em học tập hiệu quả, tự tin đối mặt với các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới.
Tìm a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \) b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Để cung cấp một bài giải chi tiết, chúng ta cần xác định chính xác nội dung của Mục 2 trong chương cụ thể. Ví dụ:
Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong Mục 2, trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2. (Lưu ý: Nội dung giải bài tập sẽ thay đổi tùy thuộc vào chương và nội dung cụ thể của Mục 2)
Đề bài: Tính giới hạn lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Giải:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x + 1
Giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:
y' = (x^3)' - (2x)' + (1)' = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2
Các bài tập còn lại sẽ được giải tương tự, áp dụng các kiến thức và kỹ năng đã học. Quan trọng là phải phân tích đề bài, xác định đúng công thức và phương pháp giải phù hợp.
Việc giải các bài tập trong Mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 là bước quan trọng để nắm vững kiến thức và chuẩn bị cho các kỳ thi. Hãy dành thời gian ôn tập kỹ lưỡng, luyện tập thường xuyên và áp dụng các phương pháp giải hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
