Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 trên toan11.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài học này thuộc chương trình Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ (vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})) và (vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})). a) Hãy biểu diễn các vectơ (vec a), (vec b) theo ba vectơ đơn vị (vec i), (vec j), (vec k). b) Tính (vec a + vec b) theo (vec i), (vec j), (vec k), từ đó tìm tọa độ của vectơ (vec a + vec b).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\).
a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\).
b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).
Phương pháp giải:
- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng: \(\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k\)
- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng: \(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\vec a\) có tọa độ \(({x_1},{y_1},{z_1})\) nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) như sau:
\(\vec a = {x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k\)
Tương tự, vectơ \(\vec b\) có tọa độ \(({x_2},{y_2},{z_2})\) nên:
\(\vec b = {x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k\)
b) Tổng của hai vectơ \(\vec a + \vec b\) là:
\(\vec a + \vec b = ({x_1}\vec i + {y_1}\vec j + {z_1}\vec k) + ({x_2}\vec i + {y_2}\vec j + {z_2}\vec k)\)
Kết hợp các thành phần tương ứng:
\(\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2})\vec i + ({y_1} + {y_2})\vec j + ({z_1} + {z_2})\vec k\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là \(({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \).
b) Tìm điểm N sao cho \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \)
Phương pháp giải:
a) Tính toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của \(\overrightarrow u \).
b)
- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).
- Biểu diễn \(\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {NB} \) theo x, y, z.
- Sử dụng điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.
Lời giải chi tiết:
a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \), và \(\overrightarrow {BC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 5;1 + 3; - 1 - 0) = ( - 3;4; - 1)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (4 - 5;1 + 3;2 - 0) = ( - 1;4;2)\)
\(\overrightarrow {BC} = \vec C - \vec B = (4 - 2;1 - 1;2 + 1) = (2;0;3)\)
Bây giờ tính vectơ \(\vec u\):
\(\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 5\overrightarrow {BC} \)
Thay các vectơ đã tính:
\(\vec u = 2( - 3;4; - 1) + ( - 1;4;2) - 5(2;0;3)\)
\(\vec u = ( - 6;8; - 2) + ( - 1;4;2) - (10;0;15)\)
\(\vec u = ( - 6 - 1 - 10;8 + 4 - 0; - 2 + 2 - 15)\)
\(\vec u = ( - 17;12; - 15)\)
Vậy tọa độ của vectơ \(\vec u\) là \(( - 17;12; - 15)\).
b) Điều kiện \(2\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NB} \) có thể được viết lại như sau:
\(2\left( {\overrightarrow A - \overrightarrow N } \right) = \left( {\overrightarrow B - \overrightarrow N } \right)\)
Giải phương trình này:
\(2\overrightarrow A - 2\overrightarrow N = - \overrightarrow B + \overrightarrow N \)
Chuyển vế: \(3\vec N = 2\vec A + \vec B\)
Từ đó: \(\vec N = \frac{{2\vec A + \vec B}}{3}\)
Tính tọa độ của điểm N: \(\vec N = \frac{{2(5; - 3;0) + (2;1; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \frac{{(10; - 6;0) + (2;1; - 1)}}{3} = \frac{{(12; - 5; - 1)}}{3}\)
\(\vec N = \left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)
Vậy tọa độ của điểm N là \(\left( {4; - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = \vec B - \vec A = (2 - 4; - 1 - 1;5 + 1) = ( - 2; - 2;6)\)
\(\overrightarrow {AC} = \vec C - \vec A = (3 - 4;0 - 1;2 + 1) = ( - 1; - 1;3)\)
Xét tỉ lệ:
\(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2,\quad \frac{6}{3} = 2\)
Vì \(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }} = 2\), hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.
- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.
- Sử dụng công thức \(x = {x_0} + {v_x} \times t\), \(y = {y_0} + {v_y} \times t\), \(z = {z_0} + {v_z} \times t\) để tính tọa độ máy bay sau thời gian \(t\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).
Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.
Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: \(\overrightarrow v = ( - 36;750;0)\).
Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\)
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.
Phương pháp giải:
- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\), và \(C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)\) được tính theo công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm M là: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
b) Tọa độ điểm G là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;3; - 5)\), \(M\left( {\frac{3}{2};2; - \frac{1}{2}} \right)\), \(G\left( {2;\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\).
Thay tọa độ A và M để tìm B.
- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\).
Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:
\({x_B} = 2{x_M} - {x_A},\quad {y_B} = 2{y_M} - {y_A},\quad {z_B} = 2{z_M} - {z_A}\)
Thay toạ độ của điểm A, M vào:
\({x_B} = 2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2,\quad {y_B} = 2 \times 2 - 3 = 1,\quad {z_B} = 2 \times \left( { - \frac{1}{2}} \right) - ( - 5) = 4\)
Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\({x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B}),\quad {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}),\quad {z_C} = 3{z_G} - ({z_A} + {z_B})\)
Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:
\({x_C} = 3 \times 2 - (1 + 2) = 3, \quad {y_C} = 3 \times \frac{2}{3} - (3 + 1) = 0,\quad {z_C} = 3 \times \left( { - \frac{2}{3}} \right) - ( - 5 + 4) = - 3\)
Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về đạo hàm. Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự thay đổi của hàm số. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và quy tắc tính đạo hàm là nền tảng để học tốt các chương tiếp theo.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tính đạo hàm của các hàm số đơn giản. Ví dụ:
f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Ta có:
y' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1)
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, ta cần tính đạo hàm y' và xét dấu của y'.
y' = 2x - 4
y' = 0 khi x = 2
Khi x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
Để tìm cực đại, cực tiểu, ta cần giải phương trình y' = 0 và xét dấu của y'.
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Khi x = 0, y'' = 6x - 6 = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, ymax = 2.
Khi x = 2, y'' = 6x - 6 = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, ymin = -2.
Để học tốt và giải bài tập về đạo hàm, các em cần:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 trên toan11.edu.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
