Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 tại toan11.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Đề bài
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\).
b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sqrt {2 + \cos x} )}^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 {\mkern 1mu} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x{\mkern 1mu} dx} \right] = \pi \left[ {\left. {2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \pi \left( {\pi + 1} \right) = {\pi ^2} + \pi \)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = {\pi ^2} + \pi \)
b) Với \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^3 {{{({x^2} - 3x)}^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
- Khai triển biểu thức:
\({({x^2} - 3x)^2} = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}.\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx - 6\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx + 9\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx} \right].\)
- Các tích phân lần lượt là:
\(\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^5}}}{5} = \frac{{243}}{5},\)
\(\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{81}}{4},\)
\(\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^3}}}{3} = 9.\)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \times \frac{{81}}{4} + 9 \times 9} \right) = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - \frac{{486}}{4} + 81} \right) = \frac{{81}}{{10}}\pi \).
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm, cụ thể là tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài tập 4.24 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài tập này:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
| x | -∞ | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y'' | - | + | |
| y | Lõm | Lồi |
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bằng cách áp dụng các bước giải chi tiết và lưu ý các điểm quan trọng, các em có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
