Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là: \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\) Hay: \(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*) Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành: \(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0;\)
b) \((\beta ):2y + 3 = 0.\)
Phương pháp giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec n = (A,B,C)\), trong đó \(A\), \(B\), \(C\) là các hệ số của \(x\), \(y\), \(z\) trong phương trình.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 1,\quad B = - 5,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, - 5,0)\)
b) Mặt phẳng \((\beta ):2y + 3 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 0,\quad B = 2,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = (0,2,0)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(1;1;1)\), \(N(4;3;2)\), \(P(5;2;1)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P\) và vuông góc với \(MN\).
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) bằng cách lấy hiệu tọa độ của \(N\) và \(M\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\), vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) có dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính vectơ chỉ phương của \(MN\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M = (4 - 1,3 - 1,2 - 1) = (3,2,1)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\vec n = (3,2,1)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P(5;2;1)\) có dạng:
\(3(x - 5) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0\)
Khai triển biểu thức trên:
\(3x - 15 + 2y - 4 + z - 1 = 0\)
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;1; - 2)\), \(\vec b = (2; - 1;0)\).
a) Tìm \([\vec a,\vec b]\), và một vectơ pháp tuyến của \((P)\)
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\).
Phương pháp giải:
- Tính tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Công thức tính tích có hướng:
\(\vec n = \vec a \times \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)
- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính tích có hướng \(\vec n = \vec a \times \vec b\):
\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&1&{ - 2}\\2&{ - 1}&0\end{array}} \right|\)
Tính từng bước:
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&0\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(1 \cdot 0 - ( - 2) \cdot ( - 1)) - {\bf{j}}(2 \cdot 0 - ( - 2) \cdot 2) + {\bf{k}}(2 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 2)\)
\( = {\bf{i}}(0 - 2) - {\bf{j}}(0 + 4) + {\bf{k}}( - 2 - 2)\)
\( = ( - 2, - 4, - 4)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec n = ( - 2, - 4, - 4)\)
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\):
\( - 2(x - 2) - 4(y + 1) - 4(z - 3) = 0\)
Khai triển:
\( - 2x + 4 - 4y - 4 - 4z + 12 = 0\)
\( - 2x - 4y - 4z + 12 = 0\)
Chia cả hai vế cho \( - 2\):
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) là:
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (1; - 2;3)\), \(\vec b = (3;2; - 1)\), \(\vec c = ( - 2;4; - 6)\) và điểm \(A(4;1;0)\). Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua \(A\) và nhận hai trong ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\).
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\):
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
- Mặt phẳng thứ nhất chứa \(\vec a\) và \(\vec b\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\):
\({\vec n_1} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\2&{ - 1}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{ - 1}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(\left( { - 2} \right) \cdot ( - 1) - 3 \cdot 2) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 1) - 3 \cdot 3) + {\bf{k}}(1 \cdot 2 - ( - 2) \cdot 3)\)
\( = {\bf{i}}( - 2 - 6) - {\bf{j}}( - 1 - 9) + {\bf{k}}(2 + 6)\)
\( = ( - 4,10,8)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là \({\vec n_1} = ( - 4,10,8)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 4(x - 4) + 10(y - 1) + 8(z - 0) = 0\)
\( - 4x + 16 + 10y - 10 + 8z = 0\)
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
- Mặt phẳng thứ hai chứa \(\vec a\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec c\):
\({\vec n_2} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(( - 2) \cdot ( - 6) - 3 \cdot 4) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 6) - 3 \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(1 \cdot 4 - ( - 2) \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}(12 - 12) - {\bf{j}}( - 6 + 6) + {\bf{k}}(4 - 4)\)
\( = (0,0,0)\)
Kết quả cho thấy hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec c\) cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.
- Mặt phẳng thứ 3 chứa \(\vec b\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec b\) và \(\vec c\):
\({\vec n_3} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(2 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot 4) - {\bf{j}}(3 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}( - 12 + 4) - {\bf{j}}( - 18 - 2) + {\bf{k}}(12 + 4)\)
\( = ( - 8, - 20,16)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là \({\vec n_3} = ( - 8, - 20,16)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 8(x - 4) - 20(y - 1) + 16(z - 0) = 0\)
\( - 8x + 32 - 20y + 20 + 16z = 0\)
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(4; - 1;2)\), \(B(1;4; - 3)\), \(C(3; - 4;7)\).
a) Chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).
Phương pháp giải:
1. Để chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng, tính hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - 4,4 + 1, - 3 - 2) = ( - 3,5, - 5)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (3 - 4, - 4 + 1,7 - 2) = ( - 1, - 3,5)\)
Xét tỉ số giữa các tọa độ của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3,\quad \frac{5}{{ - 3}} = - \frac{5}{3},\quad \frac{{ - 5}}{5} = - 1\)
Các tỉ số không bằng nhau, nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 5}\\{ - 3}&5\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 5}\\{ - 1}&5\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\{ - 1}&{ - 3}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(5 \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 3)) - {\bf{j}}(( - 3) \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}(( - 3) \cdot ( - 3) - 5 \cdot ( - 1))\)
\( = {\bf{i}}(25 - 15) - {\bf{j}}(( - 15 - 5)) + {\bf{k}}(9 + 5)\)
\( = (10,20,14)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\vec n = (10,20,14)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A(4; - 1;2)\):
\(10(x - 4) + 20(y + 1) + 14(z - 2) = 0\)
\(10x - 40 + 20y + 20 + 14z - 28 = 0\)
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A(4;0;0)\), \(B(0; - 5;0)\), \(C(0;0;6)\), \(D( - 5;3;4)\). Viết phương trình các mặt phẳng \((ABC)\), \((BCD)\), \((ABD)\), \((ACD)\).
Phương pháp giải:
1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \((A,B,C)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\), trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
1. Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 4, - 5 - 0,0 - 0) = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 4,0 - 0,6 - 0) = ( - 4,0,6)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\left( {( - 5).6 - 0.0,0.( - 4) - ( - 4).6,( - 4).0 - ( - 5).( - 4)} \right)\)
\( = ( - 30,24, - 20)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\( - 30(x - 4) + 24(y - 0) - 20(z - 0) = 0\)
\( - 30x + 120 + 24y - 20z = 0\)
\(30x - 24y + 20z = 120\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(30x - 24y + 20z = 120\)
2. Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - ( - 5),6 - 0) = (0,5,6)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 5 - 0,3 - ( - 5),4 - 0) = ( - 5,8,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\left( {5.4 - 6.8,6.( - 5) - 0.4,0.8 - ( - 5).5} \right)\)
\( = ( - 28, - 30,25)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 28(x - 0) - 30(y + 5) + 25(z - 0) = 0\)
\( - 28x - 30y - 150 + 25z = 0\)
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
3. Phương trình mặt phẳng \((ABD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AD} = D - A = ( - 5 - 4,3 - 0,4 - 0) = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {( - 5).4 - 0.3,\,\,0.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - ( - 5).( - 9)} \right)\)
\( = ( - 20,16, - 57)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\( - 20(x - 4) + 16(y - 0) - 57(z - 0) = 0\)
\( - 20x + 80 + 16y - 57z = 0\)
\(20x - 16y + 57z = 80\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\(20x - 16y + 57z = 80\)
4. Phương trình mặt phẳng \((ACD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AC} = ( - 4,0,6)\)
\(\overrightarrow {AD} = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.4 - 6.3,\,\,6.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - 0.( - 9)} \right)\)
\(( - 18, - 38, - 12)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 18(x - 4) - 38(y - 0) - 12(z - 0) = 0\)
\( - 18x + 72 - 38y - 12z = 0\)
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là:
\(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\)
Hay:
\(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*)
Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành:
\(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Phương pháp giải:
Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng \(({x_0},{y_0},{z_0})\) và một vectơ pháp tuyến \((A,B,C)\). Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Một điểm \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\):
Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Phương trình mặt phẳng là:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc dưới dạng khác:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với:
\(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\)
Ý nghĩa điều kiện \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = 0\):
Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến \(\vec n\) và vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) (nối từ \({M_0}\) đến một điểm bất kỳ \(M\)) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?
Phương pháp giải:
- Ta coi các độ cao là tọa độ \(z\) của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trong không gian. Do độ cao của điểm \(A\) không thay đổi, ta đặt \({z_A} = 0\). Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng \(Oxy\), ta có:
\(A(0;0;0),\quad B(9;0; - 0,06),\quad D(0;5; - 0,036),\quad C({x_C};{y_C};{z_C})\)
- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm \(A\), \(B\), \(D\) (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ \(z\) của \(C\) phải thỏa mãn phương trình này).
- Tìm tọa độ \({z_C}\) bằng cách giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ cao của các điểm \(A,B,C,D\)lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\). Theo đề bài, ta có:
\({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)
Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm \(B,D\) được thay đổi như sau:
\({z_B} = - 0,06{\mkern 1mu} {\rm{m}},\quad {z_D} = - 0,036{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0.\)
Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được:
\(D = 0.\)
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz = 0.\)
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = (9;0; - 0,06)\)
\(\overrightarrow {AD} = \left( {0;5; - 0,036} \right)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right)\)
\( = (0,3;0,324;45)\)
Ta có phương trình mặt phẳng:
\(0,3x + 0,324y + 45z = 0\)
Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:
\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0\)
\(2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0\)
\({z_C} = - 0,1032{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ cao của điểm \(C\) cần giảm là:
\({z_C} = - 0.1032{\mkern 1mu} {\rm{m}} = - 10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Bác An cần hạ độ cao của điểm \(C\) xuống khoảng \(10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) so với độ cao của điểm \(A\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Gọi \(M(x;y;z)\) là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào \(?\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(M(x;y;z)\) thuộc \((\alpha )\) là:
\(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = ?\)
Hay:
\(A(x - ?) + B(y - ?) + C(z - ?) = 0\) (*)
Đặt \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) thì phương trình (*) trở thành:
\(?x + ?y + ?z + D = 0\)
Phương pháp giải:
Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng \(({x_0},{y_0},{z_0})\) và một vectơ pháp tuyến \((A,B,C)\). Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Một điểm \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\):
Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\). Phương trình mặt phẳng là:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc dưới dạng khác:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với:
\(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\)
Ý nghĩa điều kiện \(\vec n \cdot \overrightarrow {{M_0}M} = 0\):
Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến \(\vec n\) và vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) (nối từ \({M_0}\) đến một điểm bất kỳ \(M\)) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0;\)
b) \((\beta ):2y + 3 = 0.\)
Phương pháp giải:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec n = (A,B,C)\), trong đó \(A\), \(B\), \(C\) là các hệ số của \(x\), \(y\), \(z\) trong phương trình.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \((\alpha ):x - 5y + 2 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 1,\quad B = - 5,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, - 5,0)\)
b) Mặt phẳng \((\beta ):2y + 3 = 0\).
So sánh với phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có:
\(A = 0,\quad B = 2,\quad C = 0\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là:
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = (0,2,0)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(1;1;1)\), \(N(4;3;2)\), \(P(5;2;1)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P\) và vuông góc với \(MN\).
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\) bằng cách lấy hiệu tọa độ của \(N\) và \(M\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\), vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) có dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính vectơ chỉ phương của \(MN\):
\(\overrightarrow {MN} = N - M = (4 - 1,3 - 1,2 - 1) = (3,2,1)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\vec n = (3,2,1)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(P(5;2;1)\) có dạng:
\(3(x - 5) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0\)
Khai triển biểu thức trên:
\(3x - 15 + 2y - 4 + z - 1 = 0\)
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(3x + 2y + z - 20 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;1; - 2)\), \(\vec b = (2; - 1;0)\).
a) Tìm \([\vec a,\vec b]\), và một vectơ pháp tuyến của \((P)\)
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\).
Phương pháp giải:
- Tính tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Công thức tính tích có hướng:
\(\vec n = \vec a \times \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)
- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
Tính tích có hướng \(\vec n = \vec a \times \vec b\):
\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\2&1&{ - 2}\\2&{ - 1}&0\end{array}} \right|\)
Tính từng bước:
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&0\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(1 \cdot 0 - ( - 2) \cdot ( - 1)) - {\bf{j}}(2 \cdot 0 - ( - 2) \cdot 2) + {\bf{k}}(2 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 2)\)
\( = {\bf{i}}(0 - 2) - {\bf{j}}(0 + 4) + {\bf{k}}( - 2 - 2)\)
\( = ( - 2, - 4, - 4)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
\(\vec n = ( - 2, - 4, - 4)\)
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\):
\( - 2(x - 2) - 4(y + 1) - 4(z - 3) = 0\)
Khai triển:
\( - 2x + 4 - 4y - 4 - 4z + 12 = 0\)
\( - 2x - 4y - 4z + 12 = 0\)
Chia cả hai vế cho \( - 2\):
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) là:
\(x + 2y + 2z - 6 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (1; - 2;3)\), \(\vec b = (3;2; - 1)\), \(\vec c = ( - 2;4; - 6)\) và điểm \(A(4;1;0)\). Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua \(A\) và nhận hai trong ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\).
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\):
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
- Mặt phẳng thứ nhất chứa \(\vec a\) và \(\vec b\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\):
\({\vec n_1} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\2&{ - 1}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{ - 1}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(\left( { - 2} \right) \cdot ( - 1) - 3 \cdot 2) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 1) - 3 \cdot 3) + {\bf{k}}(1 \cdot 2 - ( - 2) \cdot 3)\)
\( = {\bf{i}}( - 2 - 6) - {\bf{j}}( - 1 - 9) + {\bf{k}}(2 + 6)\)
\( = ( - 4,10,8)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là \({\vec n_1} = ( - 4,10,8)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 4(x - 4) + 10(y - 1) + 8(z - 0) = 0\)
\( - 4x + 16 + 10y - 10 + 8z = 0\)
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:
\( - 4x + 10y + 8z + 6 = 0\)
- Mặt phẳng thứ hai chứa \(\vec a\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec a\) và \(\vec c\):
\({\vec n_2} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(( - 2) \cdot ( - 6) - 3 \cdot 4) - {\bf{j}}(1 \cdot ( - 6) - 3 \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(1 \cdot 4 - ( - 2) \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}(12 - 12) - {\bf{j}}( - 6 + 6) + {\bf{k}}(4 - 4)\)
\( = (0,0,0)\)
Kết quả cho thấy hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec c\) cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.
- Mặt phẳng thứ 3 chứa \(\vec b\) và \(\vec c\):
Tích có hướng của \(\vec b\) và \(\vec c\):
\({\vec n_3} = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 6}\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 6}\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&4\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(2 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot 4) - {\bf{j}}(3 \cdot ( - 6) - ( - 1) \cdot ( - 2)) + {\bf{k}}(3 \cdot 4 - 2 \cdot ( - 2))\)
\( = {\bf{i}}( - 12 + 4) - {\bf{j}}( - 18 - 2) + {\bf{k}}(12 + 4)\)
\( = ( - 8, - 20,16)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là \({\vec n_3} = ( - 8, - 20,16)\). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm \(A(4;1;0)\):
\( - 8(x - 4) - 20(y - 1) + 16(z - 0) = 0\)
\( - 8x + 32 - 20y + 20 + 16z = 0\)
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:
\( - 8x - 20y + 16z + 52 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(4; - 1;2)\), \(B(1;4; - 3)\), \(C(3; - 4;7)\).
a) Chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).
Phương pháp giải:
1. Để chứng minh ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng, tính hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \). Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.
2. Tìm tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
hoặc
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - 4,4 + 1, - 3 - 2) = ( - 3,5, - 5)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (3 - 4, - 4 + 1,7 - 2) = ( - 1, - 3,5)\)
Xét tỉ số giữa các tọa độ của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3,\quad \frac{5}{{ - 3}} = - \frac{5}{3},\quad \frac{{ - 5}}{5} = - 1\)
Các tỉ số không bằng nhau, nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.
b) Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 5}\\{ - 3}&5\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 5}\\{ - 1}&5\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\{ - 1}&{ - 3}\end{array}} \right|\)
\( = {\bf{i}}(5 \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 3)) - {\bf{j}}(( - 3) \cdot 5 - ( - 5) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}(( - 3) \cdot ( - 3) - 5 \cdot ( - 1))\)
\( = {\bf{i}}(25 - 15) - {\bf{j}}(( - 15 - 5)) + {\bf{k}}(9 + 5)\)
\( = (10,20,14)\)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\vec n = (10,20,14)\).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm \(A(4; - 1;2)\):
\(10(x - 4) + 20(y + 1) + 14(z - 2) = 0\)
\(10x - 40 + 20y + 20 + 14z - 28 = 0\)
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(10x + 20y + 14z - 48 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A(4;0;0)\), \(B(0; - 5;0)\), \(C(0;0;6)\), \(D( - 5;3;4)\). Viết phương trình các mặt phẳng \((ABC)\), \((BCD)\), \((ABD)\), \((ACD)\).
Phương pháp giải:
1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.
3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
với \((A,B,C)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\), trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
1. Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 4, - 5 - 0,0 - 0) = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 4,0 - 0,6 - 0) = ( - 4,0,6)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\left( {( - 5).6 - 0.0,0.( - 4) - ( - 4).6,( - 4).0 - ( - 5).( - 4)} \right)\)
\( = ( - 30,24, - 20)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\( - 30(x - 4) + 24(y - 0) - 20(z - 0) = 0\)
\( - 30x + 120 + 24y - 20z = 0\)
\(30x - 24y + 20z = 120\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\(30x - 24y + 20z = 120\)
2. Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - ( - 5),6 - 0) = (0,5,6)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 5 - 0,3 - ( - 5),4 - 0) = ( - 5,8,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\left( {5.4 - 6.8,6.( - 5) - 0.4,0.8 - ( - 5).5} \right)\)
\( = ( - 28, - 30,25)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 28(x - 0) - 30(y + 5) + 25(z - 0) = 0\)
\( - 28x - 30y - 150 + 25z = 0\)
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\(28x + 30y - 25z = - 150\)
3. Phương trình mặt phẳng \((ABD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = ( - 4, - 5,0)\)
\(\overrightarrow {AD} = D - A = ( - 5 - 4,3 - 0,4 - 0) = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {( - 5).4 - 0.3,\,\,0.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - ( - 5).( - 9)} \right)\)
\( = ( - 20,16, - 57)\)
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\( - 20(x - 4) + 16(y - 0) - 57(z - 0) = 0\)
\( - 20x + 80 + 16y - 57z = 0\)
\(20x - 16y + 57z = 80\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là:
\(20x - 16y + 57z = 80\)
4. Phương trình mặt phẳng \((ACD)\):
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AC} = ( - 4,0,6)\)
\(\overrightarrow {AD} = ( - 9,3,4)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.4 - 6.3,\,\,6.( - 9) - ( - 4).4,\,\,( - 4).3 - 0.( - 9)} \right)\)
\(( - 18, - 38, - 12)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 18(x - 4) - 38(y - 0) - 12(z - 0) = 0\)
\( - 18x + 72 - 38y - 12z = 0\)
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\(18x + 38y + 12z = 72\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?
Phương pháp giải:
- Ta coi các độ cao là tọa độ \(z\) của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trong không gian. Do độ cao của điểm \(A\) không thay đổi, ta đặt \({z_A} = 0\). Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng \(Oxy\), ta có:
\(A(0;0;0),\quad B(9;0; - 0,06),\quad D(0;5; - 0,036),\quad C({x_C};{y_C};{z_C})\)
- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm \(A\), \(B\), \(D\) (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ \(z\) của \(C\) phải thỏa mãn phương trình này).
- Tìm tọa độ \({z_C}\) bằng cách giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ cao của các điểm \(A,B,C,D\)lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\). Theo đề bài, ta có:
\({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)
Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm \(B,D\) được thay đổi như sau:
\({z_B} = - 0,06{\mkern 1mu} {\rm{m}},\quad {z_D} = - 0,036{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0.\)
Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được:
\(D = 0.\)
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:
\(Ax + By + Cz = 0.\)
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\overrightarrow {AB} = (9;0; - 0,06)\)
\(\overrightarrow {AD} = \left( {0;5; - 0,036} \right)\)
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right)\)
\( = (0,3;0,324;45)\)
Ta có phương trình mặt phẳng:
\(0,3x + 0,324y + 45z = 0\)
Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:
\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0\)
\(2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0\)
\({z_C} = - 0,1032{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ cao của điểm \(C\) cần giảm là:
\({z_C} = - 0.1032{\mkern 1mu} {\rm{m}} = - 10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Bác An cần hạ độ cao của điểm \(C\) xuống khoảng \(10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) so với độ cao của điểm \(A\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Đồng thời, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Để cung cấp một bài giải chi tiết, chúng ta cần xác định chính xác nội dung của Mục 2 trong chương cụ thể. Ví dụ:
Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong Mục 2, trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2. (Lưu ý: Nội dung giải bài tập sẽ thay đổi tùy thuộc vào chương và nội dung cụ thể của Mục 2)
Đề bài: Tính giới hạn lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Giải:
Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x + 1
Giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:
y' = (x^3)' - (2x)' + (1)' = 3x^2 - 2
Các bài tập còn lại sẽ được giải tương tự, áp dụng các kiến thức và kỹ năng đã học. Hãy chú ý đến việc phân tích đề bài, xác định đúng công thức và phương pháp giải phù hợp.
Để giải các bài tập trong Mục 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả, các em có thể tham khảo một số mẹo sau:
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 trên toan11.edu.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải toán. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
