Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 tại toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Trong không gian Oxyz, cho điểm (M(x;y;z)), mặt cầu S có tâm (I(a;b;c)) và bán kính (r).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các phần tiếp theo. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập trong trang 74, 75 và 76, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng.
Bài tập 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp các định nghĩa và tính chất đã học. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, các em cần nhớ các quy tắc đạo hàm cơ bản và áp dụng chúng một cách chính xác.
Bài tập 2 có thể là bài tập nâng cao hơn, yêu cầu các em phải vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm cực trị của một hàm số, các em cần tìm các điểm dừng và xét dấu đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị.
Bài tập 3 thường là bài tập tổng hợp, yêu cầu các em phải kết hợp kiến thức từ nhiều phần khác nhau để giải quyết. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu giải một bài toán thực tế, các em cần xây dựng mô hình toán học phù hợp và giải mô hình đó để tìm ra kết quả.
Khi giải bài tập Toán 12 tập 2, các em cần lưu ý những điều sau:
Kiến thức trong mục 2 có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:
Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính chi phí biên và doanh thu biên.
Để học tốt Toán 12 tập 2, các em cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
