Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 tại toan11.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải nhanh giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Ở \({45^^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình: \({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\) với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L. a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\). b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thờ
Đề bài
Ở \({45^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình:
\({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\)
với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L.
a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\).
b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thời điểm \(a\) giây đến thời điểm \(b\) giây (\(a < b\)) được cho bởi công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
Tính nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Sử dụng công thức \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), suy ra \(y'(t)\) từ định nghĩa của hàm \(y(t) = \ln c(t)\)
- Từ \(y'(t)\), tính tích phân để tìm \(y(t)\).
b)
- Tính nồng độ trung bình bằng cách sử dụng công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Sử dụng hàm \(c(t)\) đã biết từ câu a để tính tích phân.
Lời giải chi tiết
a)
- Ta có:
\(y(t) = \ln c(t)\)
Lấy đạo hàm của \(y(t)\):
\(y'(t) = \frac{d}{{dt}}[\ln c(t)] = \frac{{c'(t)}}{{c(t)}}\)
- Theo đề bài, \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), do đó:
\(y'(t) = \frac{{ - 0,0005c(t)}}{{c(t)}} = - 0,0005\)
- Tính \(y(t)\) bằng cách tích phân \(y'(t)\):
\(y(t) = \int {y'} (t){\mkern 1mu} dt = \int - 0,0005{\mkern 1mu} dt = - 0,0005t + C\)
- Khi \(t = 0\), ta có \(c(0) = 0,05{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\), do đó:
\(y(0) = \ln c(0) = \ln 0,05\)
Vậy, \(C = \ln 0,05\).
- Kết luận:
\(y(t) = - 0,0005t + \ln 0,05\)
b)
- Nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{20 - 10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Từ câu a, ta biết \(c(t) = {e^{y(t)}} = {e^{ - 0,0005t + \ln 0,05}} = 0,05{e^{ - 0,0005t}}\).
- Tính tích phân:
\(\int_{10}^{20} 0 ,05{e^{ - 0,0005t}}{\mkern 1mu} dt = 0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt\)
- Tích phân của \({e^{ - 0,0005t}}\) là:
\(\int {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = \frac{{{e^{ - 0,0005t}}}}{{ - 0,0005}} = - 2000{e^{ - 0,0005t}}\)
- Do đó:
\(0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = 0,05\left( { - 2000{e^{ - 0,0005t}}|_{10}^{20}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,0005 \times 20}} - {e^{ - 0,0005 \times 10}}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,01}} - {e^{ - 0,005}}} \right)\)
- Sử dụng giá trị gần đúng:
\({e^{ - 0,01}} \approx 0,99005,\quad {e^{ - 0,005}} \approx 0,99501\)
- Khi đó:
\( - 100\left( {0,99005 - 0,99501} \right) = - 100 \times ( - 0,00496) = 0,496\)
- Nồng độ trung bình là:
\(\frac{1}{{10}} \times 0,496 = 0,0496{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\)
Bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể được đưa ra ở đây, ví dụ: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2)
Giải:
Ngoài bài tập 4.18, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu khảo sát hàm số và tìm cực trị. Để giải các bài tập này, các em cần:
Việc khảo sát hàm số có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:
Để củng cố kiến thức, các em có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về cách khảo sát hàm số và tìm cực trị. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải nhanh mà toan11.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập Toán 12.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
