Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, chính xác và dễ hiểu nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.
- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)
với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).
Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:
- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)
- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)
- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:
- Với mặt phẳng Oxy:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oxz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oyz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất:
- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).
- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.
\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)
Vì vậy:
\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)
\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)
Do đó:
\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI
\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.
- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)
với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).
Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:
- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)
- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)
- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:
- Với mặt phẳng Oxy:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oxz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oyz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất:
- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).
- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.
\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)
Vì vậy:
\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)
\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)
Do đó:
\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI
\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các phần tiếp theo. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập trong mục 2 trang 68, 69, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững nội dung chính của Mục 2. Thông thường, mục này sẽ trình bày các khái niệm, định lý, và phương pháp giải quyết một loại bài toán cụ thể. Việc hiểu rõ lý thuyết là bước đầu tiên để giải quyết thành công các bài tập thực hành.
Bài tập 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp các kiến thức và công thức đã học. Để giải bài tập này, chúng ta cần:
(Giải chi tiết bài tập 1 với các bước cụ thể và giải thích rõ ràng)
Bài tập 2 có thể là bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và kết hợp với các kỹ năng tư duy logic. Để giải bài tập này, chúng ta cần:
(Giải chi tiết bài tập 2 với các bước cụ thể và giải thích rõ ràng)
Bài tập 3 có thể là bài tập tổng hợp, yêu cầu chúng ta phải vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Để giải bài tập này, chúng ta cần:
(Giải chi tiết bài tập 3 với các bước cụ thể và giải thích rõ ràng)
Kiến thức và kỹ năng trong Mục 2 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và sản xuất. Ví dụ, trong lĩnh vực kinh tế, chúng ta có thể sử dụng các kiến thức về đạo hàm để tối ưu hóa lợi nhuận hoặc giảm thiểu chi phí. Trong lĩnh vực kỹ thuật, chúng ta có thể sử dụng các kiến thức về tích phân để tính diện tích hoặc thể tích của các vật thể.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong Mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
