Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 tại toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong chương trình Toán 12.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ các em học tập tốt nhất.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}})
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình, và hệ phương trình. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản và kỹ năng giải toán. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng để giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này.
Để giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 30, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
(Giải chi tiết bài 1 với các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích từng bước)
(Giải chi tiết bài 2 với các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích từng bước)
(Giải chi tiết bài 3 với các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích từng bước)
Trong mục 4 trang 30, các em có thể gặp các dạng bài tập sau:
Để giải nhanh các bài tập trong mục 4 trang 30, các em có thể áp dụng các mẹo sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0
(Giải chi tiết ví dụ 1)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình x2 - 4x + 3 > 0
(Giải chi tiết ví dụ 2)
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Dạng bài tập | Phương pháp giải |
|---|---|
| Phương trình bậc hai | Công thức nghiệm, delta |
| Bất phương trình bậc hai | Xét dấu, tam thức bậc hai |
| Hệ phương trình | Thế, cộng đại số |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
