Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 12 đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\). a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên. b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Đề bài
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\).
a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.
b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:
\(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt\)
2. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt\)
Lời giải chi tiết
a)
Gia tốc của quả bóng là hằng số:
\(a(t) = - 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\)
Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt = \int - 9,8{\mkern 1mu} dt\)
Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 { - 9,8} dt = \left. { - 9,8t} \right|_0^1 = - 9,8.1 - 0 = - 9,8\)
Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:
\(\int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} = v(1) - v(0)\)
Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:
\(v(1) = \int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} + v(0) = - 9,8 + 24 = 14,2\)
Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là \(14.2{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\).
b)
Vận tốc của quả bóng:
\(v(t) = - 9.8t + 24\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int {( - 9.8t + 24)} {\mkern 1mu} dt = - 4,9{t^2} + 24t + C\)
Vì \(s(0) = 1,5\) nên \(C = 1,5\)
Biết rằng khi bóng chạm đất thì \(s = 0\), suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:
\({t_{cd}} \approx 4,96\)
Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| {v(t)} \right|dt} \)
Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:
\({t_{\max }} = \frac{{24}}{{9,8}} \approx 2,45\)
Suy ra:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} = \int_0^{2,45} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} + \int_{2,45}^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} \)
\(s = \left. {\left( { - 4,9{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^{2,45} + \left. {\left( {4,9{t^2} - 24t} \right)} \right|_{2,45}^{4,96}\)
\(s \approx 29,39 + 30,9 \approx 60,29\)
Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.
Bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về:
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các bước cần thực hiện.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Trong trường hợp này, tập xác định là D = R (tập số thực).
Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số
Để tìm đạo hàm cấp nhất, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. Ví dụ, nếu hàm số có dạng f(x) = u(x) + v(x), thì f'(x) = u'(x) + v'(x).
Bước 3: Tìm các điểm dừng của hàm số
Các điểm dừng là các điểm mà đạo hàm cấp nhất bằng 0 hoặc không tồn tại. Để tìm các điểm dừng, chúng ta giải phương trình f'(x) = 0.
Bước 4: Khảo sát dấu của đạo hàm cấp nhất
Chúng ta xét dấu của đạo hàm cấp nhất trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng. Nếu đạo hàm cấp nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu đạo hàm cấp nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Bước 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Các điểm cực trị là các điểm mà hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Để tìm các điểm cực trị, chúng ta thay các điểm dừng vào hàm số ban đầu.
Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, cần chú ý các điểm sau:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác.
Bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ về khảo sát hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, các em sẽ giải bài tập này một cách hiệu quả.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
