Bài 5.26 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, sách Kết nối tri thức, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về cách tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) ({u_n} = frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}); b) ({v_n} = mathop sum limits_{k = 0}^n frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}); c) ({w_n} = frac{{sin n}}{{4n}})
Đề bài
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);
b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);
c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn
Lời giải chi tiết
a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}\)
b,
\(\begin{array}{l}{v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\end{array}\)
Vì \(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng với \({u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó:
\(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)
Vì \(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng với \({u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{5}{6}\). Do đó:
\(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}} = 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\)
Vậy \({v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8\).
c, Ta có:
\(0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0\) nên theo nguyên lý kẹp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0\)
Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán cụ thể. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số đơn thức, đa thức, và các hàm số cơ bản khác.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong trường hợp của Bài 5.26, chúng ta cần xác định hàm số cần tìm đạo hàm, khoảng xác định của hàm số, và các điều kiện ràng buộc (nếu có).
Sau khi đã phân tích đề bài, chúng ta có thể áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm của hàm số. Ví dụ, đạo hàm của hàm số f(x) = xn là f'(x) = nxn-1. Ngoài ra, chúng ta cũng cần nhớ các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản khác như sin(x), cos(x), ex, ln(x), v.v.
Trong nhiều trường hợp, chúng ta cần sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Các quy tắc đạo hàm quan trọng bao gồm quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc chuỗi, và quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức để tính đạo hàm của hàm số này:
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1 là f'(x) = 6x + 2.
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán, chúng ta cần luyện tập thường xuyên. Hãy giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và các bài tập bổ trợ khác. Ngoài ra, chúng ta cũng có thể tham khảo các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn trên YouTube.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Ngoài các kiến thức cơ bản về đạo hàm, chúng ta cũng có thể tìm hiểu thêm về các khái niệm nâng cao như đạo hàm cấp hai, đạo hàm riêng, và đạo hàm hàm nhiều biến. Các khái niệm này có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Bằng cách nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, áp dụng các quy tắc đạo hàm, và luyện tập thường xuyên, chúng ta có thể tự tin giải quyết các bài toán đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong thực tế.
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
