Bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm của các hàm số cơ bản, và các quy tắc tính đạo hàm.

Nội dung bài tập 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập yêu cầu học sinh xét một hàm số f(x) và tính đạo hàm f'(x). Sau đó, dựa vào đạo hàm này, học sinh cần xác định các khoảng trên đó hàm số đồng biến, nghịch biến, tìm cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Để giải bài tập này, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số f(x).
2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Giải bất phương trình f'(x) > 0 để tìm khoảng đồng biến và f'(x) < 0 để tìm khoảng nghịch biến.
3. Tìm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị. Sau đó, sử dụng dấu của f'(x) để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
4. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được, vẽ đồ thị hàm số f(x).

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

• Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:
• f'(x) > 0 khi 3x² - 6x > 0, tương đương với x < 0 hoặc x > 2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
• f'(x) < 0 khi 3x² - 6x < 0, tương đương với 0 < x < 2. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
• Tìm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
• Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, vậy x = 0 là điểm cực đại và f(0) = 2.
• Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, vậy x = 2 là điểm cực tiểu và f(2) = -2.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Khi giải các bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:

• Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
• Kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót.
• Sử dụng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
• Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
• Tìm cực trị của hàm số: Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tìm điểm tối ưu (ví dụ: điểm có lợi nhuận tối đa hoặc chi phí tối thiểu).
• Phân tích sự thay đổi: Đạo hàm giúp phân tích sự thay đổi của một đại lượng theo một đại lượng khác.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải Bài 6.13 trang 15 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!