Giải mục 2 trang 60, 61 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 60, 61 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Mục 2 trong SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về phép biến hóa affine. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học, mở rộng khái niệm về phép biến hình tuyến tính. Việc hiểu rõ về phép biến hóa affine sẽ giúp học sinh có nền tảng vững chắc để tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.

Nội dung chính của Mục 2

Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:

• Định nghĩa phép biến hóa affine: Giới thiệu khái niệm phép biến hóa affine, các tính chất của nó và cách biểu diễn bằng ma trận.
• Phép chiếu song song: Nghiên cứu về phép chiếu song song, một trường hợp đặc biệt của phép biến hóa affine.
• Phép vị tự: Tìm hiểu về phép vị tự, một phép biến hóa affine quan trọng khác.
• Ứng dụng của phép biến hóa affine: Giới thiệu một số ứng dụng thực tế của phép biến hóa affine trong hình học và các lĩnh vực khác.

Giải chi tiết bài tập trang 60, 61

Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 60, 61 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức:

Bài 1: Tìm ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; 2x - y)

Để tìm ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; 2x - y), ta thay x = 2 và y = -1 vào công thức của phép biến hóa:

f(2; -1) = (2 + (-1); 2(2) - (-1)) = (1; 5)

Vậy, ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; 2x - y) là điểm M'(1; 5).

Bài 2: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 1), C(2; 0). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; x - y)

Để tìm ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; x - y), ta tìm ảnh của từng đỉnh A, B, C:

• A'(f(0; 0)) = (0 + 0; 0 - 0) = (0; 0)
• B'(f(1; 1)) = (1 + 1; 1 - 1) = (2; 0)
• C'(f(2; 0)) = (2 + 0; 2 - 0) = (2; 2)

Vậy, ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x; y) = (x + y; x - y) là tam giác A'B'C' với A'(0; 0), B'(2; 0), C'(2; 2).

Bài 3: Chứng minh rằng phép biến hóa affine f(x; y) = (ax + by + c; dx + ey + f) là một phép biến hình tuyến tính nếu và chỉ nếu c = f = 0.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng f(x; y) thỏa mãn hai điều kiện của phép biến hình tuyến tính:

1. f(x1 + x2; y1 + y2) = f(x1; y1) + f(x2; y2)
2. f(kx; ky) = kf(x; y)

Nếu c = f = 0, ta có f(x; y) = (ax + by; dx + ey). Khi đó:

• f(x1 + x2; y1 + y2) = (a(x1 + x2) + b(y1 + y2); d(x1 + x2) + e(y1 + y2)) = (ax1 + bx1 + ay2 + by2; dx1 + dx2 + ey1 + ey2) = (ax1 + by1; dx1 + ey1) + (ax2 + by2; dx2 + ey2) = f(x1; y1) + f(x2; y2)
• f(kx; ky) = (a(kx) + b(ky); d(kx) + e(ky)) = k(ax + by; dx + ey) = kf(x; y)

Vậy, nếu c = f = 0, f(x; y) là một phép biến hình tuyến tính.

Lời khuyên khi học Mục 2

Để học tốt Mục 2, các em nên:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của phép biến hóa affine.
• Luyện tập giải các bài tập để hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào thực tế.
• Tìm hiểu về các ứng dụng của phép biến hóa affine trong các lĩnh vực khác nhau.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về mục 2 trang 60, 61 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!