Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phân tích chuyên sâu

Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích chi tiết từng bước giải.

Nội dung bài tập

Bài 16 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
4. Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

• f(0) = 2
• f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0, 2) và điểm cực tiểu là (2, -2).

Bước 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:

• Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
• Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
• Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.

Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Đồ thị hàm số có dạng đường cong đi qua các điểm quan trọng như điểm cực đại (0, 2), điểm cực tiểu (2, -2) và các điểm cắt trục tọa độ.

Kết luận

Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều đã giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

Hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!