Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 62 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học một cách hiệu quả.
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\) a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\) c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\)
a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)
b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\)
c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 8.\)
Vì \(\lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = \lim \frac{{ - 2}}{n} = 0\) nên \(\lim {v_n} = 4.\)
b) \({u_n} + {v_n} = 8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}\)
Vì \(\lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = \lim \frac{{ - 1}}{n} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 12.\)
Mà \(\lim {u_n} + \lim {v_n} = 12\)
Do đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n}.\)
c) \({u_n}.{v_n} = \left( {8 + \frac{1}{n}} \right).\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}\)
Sử dụng kết quả của ý b ta có \(\lim \left( {32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 32 - \lim \frac{{14}}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 32\)
Mà \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right) = 32\)
Do đó \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n} = \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)} = \sqrt {0 + 1} = 1\)
Mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và phân tích.
Mục 2 bao gồm các bài tập về:
Bài 1 yêu cầu học sinh xác định các hệ số a, b, c của các hàm số bậc hai cho trước. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của hàm số bậc hai và biết cách nhận biết các hệ số tương ứng.
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x2 - 3x + 1. Xác định các hệ số a, b, c.
Lời giải: a = 2, b = -3, c = 1.
Bài 2 yêu cầu học sinh tìm tập xác định của các hàm số bậc hai. Tập xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức trong hàm số có nghĩa.
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y = x2 + 1.
Lời giải: Tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).
Bài 3 yêu cầu học sinh xác định đỉnh và trục đối xứng của parabol. Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (hoặc cao nhất) của đồ thị hàm số. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia parabol thành hai phần đối xứng nhau.
Công thức tính tọa độ đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c là:
xđỉnh = -b / 2a
yđỉnh = -Δ / 4a (với Δ = b2 - 4ac)
Phương trình trục đối xứng là x = -b / 2a.
Bài 4 yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số bậc hai. Để vẽ đồ thị hàm số, học sinh cần xác định các điểm đặc biệt của parabol, bao gồm đỉnh, trục đối xứng, các giao điểm với trục hoành và trục tung.
Các bước vẽ đồ thị hàm số:
Bài 5 yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc hai trong thực tế. Các bài toán này thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hoặc giải các bài toán tối ưu hóa.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
