Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải bài tập Toán 11 có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan11.edu.vn đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải cụ thể và dễ dàng theo dõi.
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng (frac{1}{4}) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó.
Đề bài
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
b) Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Tính \({S_n}\), nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó, do vậy \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n}\). Suy ra số hạng tổng quát của dãy là \({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\).
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ đó ta rút ra ý nghĩa giới hạn của dãy \(\left( {{h_n}} \right)\).
c) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó. Sau lần chạm đất thứ \(n\), độ cao của quả bóng là \({h_n}\), thì lần chạm đất tiếp theo (thứ \(n + 1\)), độ cao của quả bóng là \(\frac{1}{4}{h_n}\).
Tức là \({h_{n + 1}} = \frac{1}{4}{h_n} \Rightarrow \frac{{{h_{n + 1}}}}{{{h_n}}} = \frac{1}{4}\). Như vậy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({h_1} = \frac{{100}}{4} = 25\) và công bội \(q = \frac{\({h_n} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)1}{4}\).
Như vậy \({h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{100}}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{100}}{{{4^n}}}\)
Vậy số hạng tổng quát của dãy là .
b) Ta có \(\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim 100.\lim \frac{1}{{{4^n}}} = 100.0 = 0\)
Từ giới hạn này, ta rút ra được ý nghĩa: Khi \(n\) càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Từ lúc thả rơi đến lần chạm đất đầu tiên, qua bóng đi được 100 m.
Từ lúc chạm đất lần đầu tiên đến lúc chạm đất lần thứ hai, quả bóng nảy lên độ cao \({h_1}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_1}\).
Từ lúc chạm đất lần thứ hai đến lúc chạm đất lần thứ ba, quả bóng nảy lên độ cao \({h_2}\) rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là \(2{h_2}\).
Cứ như vậy, quãng đường quả bóng đi được là:
\({S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ... + {h_n}} \right)\)
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi thì quãng đường quả bóng đi được là \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right)\)
Ta thấy \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\), nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn.
Như vậy \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ...} \right) = 100 + 2\frac{{{h_1}}}{{1 - q}} = 100 + 2\frac{{25}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\)
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển là \(\frac{{500}}{3}\) m.
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức đã học về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình là vô cùng quan trọng để giải quyết thành công bài tập này.
Bài 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn giải quyết bài tập 11 trang 69 một cách hiệu quả, chúng tôi sẽ cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập. Mỗi hướng dẫn sẽ bao gồm:
Bài tập: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến đó.
Giải:
Áp dụng công thức phép tịnh tiến: A'(x' ; y') = A(x ; y) + v(a ; b) = (x + a ; y + b)
Thay số: A'(1 + 3 ; 2 - 1) = A'(4 ; 1)
Vậy, ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Khi giải bài tập về phép biến hình, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để học tốt hơn về phép biến hình, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể tự tin giải quyết bài tập 11 trang 69 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
