Giải bài 49 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2a\). Tính khoảng cách:

a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

b) Giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\).

c) Từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

d*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(ABCD\) là hình vuông, nên \(AO \bot BD\). Hơn nữa, do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot AO\). Như vậy, do \(AO \bot BD\), \(SO \bot AO\) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\). Điều này có nghĩa \(O\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SBD} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là đoạn thẳng \(AO\).

Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). Do \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), nên ta suy ra \(OM \bot CD\) và \(OM = \frac{a}{2}\).

Do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(SO \bot OM\).

Như vậy, do \(OM \bot CD\), \(SO \bot OM\), nên \(OM\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(OM\).

Do \(OM = \frac{a}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là \(\frac{a}{2}\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SM\). Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot CD\), mà \(OM \bot CD\) nên \(\left( {SOM} \right) \bot CD\), điều này suy ra \(OH \bot CD\). Mà lại có \(OH \bot SM\) nên \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).

Vậy \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\), tức là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SCD} \right)\) là đoạn thẳng \(OH\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\).

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\), nên ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{2}{{7{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}} \Rightarrow OH = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{30}}} = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\).

d) Gọi \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\).

Ta có \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\), mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SD\) cũng bằng khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\). Do \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AG\).

Do \(OH \bot \left( {SCD} \right)\), \(AG \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(OH\parallel AG\).

Tam giác \(ACG\) có \(OH\parallel AG\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{OH}}{{AG}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(AG = 2OH\). Mà \(OH = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\) nên \(AG = \frac{{a\sqrt {210} }}{{15}}\).