Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án và hướng dẫn giải từng bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp tài liệu học tập chất lượng và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng
Đề bài
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo \(AC\), \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD\) tại \(M'\), qua \(N\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AF\) tại \(N'\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\).
b) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {AFD} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(I\). Tính \(\frac{{FI}}{{FE}}\), biết \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(MM'\parallel NN'\), từ đó suy ra 4 điểm \(M\), \(M'\), \(N\), \(N'\) đồng phẳng. Tương tự 4 điểm \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cũng đồng phẳng.
Chứng minh rằng \(NN'\parallel CD\) (do cùng song song với \(AB\)) để suy ra \(NN'\parallel \left( {CDE} \right)\). Tiếp theo, chỉ ra rằng \(M'N'\parallel FD\) để suy ra \(M'N'\parallel \left( {CDE} \right)\), rồi suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng định lí Thales: Đường thẳng \(AC\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(A\), \(M\), \(C\). Đường thẳng \(FE\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(F\), \(I\), \(E\). Suy ra \(\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}}\), từ đó tính được tỉ số \(\frac{{FI}}{{FE}}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(MM'\parallel AB\), \(NN'\parallel AB \Rightarrow MM'\parallel NN'\). Suy ra 4 điểm \(M\), \(M'\), \(N\), \(N'\) đồng phẳng. Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) đồng phẳng.
Mặt khác, ta có \(MM'\parallel AB\), \(AB\parallel CD\) nên \(MM'\parallel CD\).
Do \(CD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\).
Hơn nữa, do \(MM'\parallel AB\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{AD}}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\).
Theo đề bài, vì \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\), ta suy ra \(\frac{{AM'}}{{AD}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\), tức là \(M'N'\parallel FD\).
Do \(FD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\).
Vì \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(MM' \cap M'N' = \left\{ {M'} \right\}\), nên ta có \(\left( {MNN'M'} \right)\parallel \left( {CDFE} \right)\), tức là \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\). Bài toán được chứng minh.
b) Ta có \(AD\parallel BE\), \(BC \subset \left( {BCE} \right)\) nên \(AD\parallel \left( {BCE} \right)\). Tương tự ta cũng có \(DF\parallel \left( {BCE} \right)\). Vậy \(\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\)
Theo đề bài, vì \(\left( P \right)\parallel \left( {AFD} \right)\) và \(M \in \left( P \right)\), nên ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\) đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.
Đường thẳng \(AC\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(A\), \(M\), \(C\). Đường thẳng \(FE\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(F\), \(I\), \(E\). Áp dụng định lí Thales, ta suy ra \(\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{FI}}{{FE}}\).
Mà \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\), ta kết luận \(\frac{{FI}}{{FE}} = \frac{1}{3}\).
Bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong hình học.
Bài 35 bao gồm các dạng bài tập sau:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng, ta có:
a.b = (2)*(-1) + (-3)*(5) = -2 - 15 = -17
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là -17.
Ta có:
|a| = √(12 + 22) = √5
|b| = √((-3)2 + 12) = √10
a.b = (1)*(-3) + (2)*(1) = -3 + 2 = -1
cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = -1 / (√5 * √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2) = -√2 / 10
θ = arccos(-√2 / 10) ≈ 99.46°
Vậy, góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 99.46°.
Ta tính các vectơ:
AB = (3-1; 4-2) = (2; 2)
AC = (5-1; 1-2) = (4; -1)
Tính tích vô hướng AB.AC = (2)*(4) + (2)*(-1) = 8 - 2 = 6
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì AB ⊥ AC, tức là AB.AC = 0. Tuy nhiên, AB.AC = 6 ≠ 0. Vậy tam giác ABC không vuông tại A.
Sách giáo khoa Toán 11 - Cánh Diều
Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Các trang web học Toán online uy tín như toan11.edu.vn
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về cách giải bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
