Giải Bài 62 Trang 118, 119 Sách Bài Tập Toán 11 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(B'C'\), \(DD'\).

a) Chứng minh rằng \(ADC'B'\) là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

c) Chứng minh rằng \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\) và \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).

d*) Xác định giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt của hình hộp.

e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MNP} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\) lần lượt tại \(I\), \(J\), \(H\). Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{JH}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 62 trang 118, 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều 1

a) Chỉ ra rằng tứ giác \(ADC'B'\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau, từ đó suy ra \(ADC'B'\) là hình bình hành.

b) Để chứng minh rằng \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), ta cần chứng minh rằng \(BD\) song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( {AB'D'} \right)\). Ta cũng làm tương tự để chứng minh \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

c) Theo câu b, ta đã chứng minh được \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\). Do đó, để chứng minh \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\), ta cần chỉ ra thêm 1 đường thẳng song song với \(\left( {AB'D'} \right)\) và cắt \(MN\). Sử dụng các kết quả thu được ở câu b và câu c để suy ra \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).

d) Gọi \(E\), \(F\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(C'D'\), \(B'B\), \(AB\). Ta sẽ chứng minh rằng sáu điểm \(E\), \(F\), \(K\), \(M\), \(N\), \(P\) đồng phẳng, từ đó chỉ ra được sáu đường thẳng \(MP\), \(PE\), \(EN\), \(NF\), \(FK\), \(KM\) chính là các giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) với sáu mặt của hình hộp.

e) Gọi \(R\), \(O\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) với \(MK\) và \(BD\). Chỉ ra rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AC\) cắt ba mặt phẳng song song \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MPENFK} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\) và sử dụng định lí Thales trong không gian để tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{JH}}\).

Lời giải chi tiết

Giải bài 62 trang 118, 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều 2

a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp, nên ta có \(ABCD\) và \(BCC'B'\) là các hình bình hành. Vì \(ABCD\) là hình bình hành, ta có \(AD\parallel CB\) và \(AD = CB\). Mà \(BCC'B'\) cũng là hình bình hành, nên ta có \(B'C'\parallel BC\) và \(B'C' = BC\).

Như vậy ta suy ra \(AD\parallel B'C'\) và \(AD = B'C'\). Điều này có nghĩa \(ADC'B'\) là hình bình hành. Ta có điều phải chứng minh.

b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp, ta có \(BB' = DD'\) và \(BB'\parallel DD'\). Suy ra \(DBB'D'\) là hình bình hành, suy ra \(BD\parallel B'D'\). Mà \(B'D' \subset \left( {AB'D'} \right)\), ta suy ra \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

Xét tứ giác \(AMNB'\), ta có \(AM\parallel NB'\) (do \(AD\parallel B'C'\)) và \(AM = NB'\) (do cùng bằng một nửa \(AD\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \(MN\parallel AB'\). Do \(AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\), ta suy ra \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

c) Theo câu b, ta đã chứng minh được \(MN\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

Do \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(P\) là trung điểm của \(DD'\), nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(AD'D\). Suy ra \(MP\parallel AD'\). Do \(AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(MP\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

Như vậy \(\left( {MNP} \right)\) có hai đường thẳng \(MN\) và \(MP\) cùng song song với \(\left( {AB'D'} \right)\), và hai đường thẳng này cắt nhau tại \(M\), nên ta kết luận \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\).

Vì \(BD\parallel \left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {AB'D'} \right)\) nên ta suy ra \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).

d*) Gọi \(E\), \(F\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(C'D'\), \(B'B\), \(AB\).

Do \(P\) là trung điểm của \(DD'\), \(E\) là trung điểm của \(C'D'\) nên \(PE\) là đường trung bình của tam giác \(C'D'D\), suy ra \(PE\parallel C'D\).

Tứ giác \(DMNC'\) có \(DM\parallel NC'\) (do \(AD\parallel B'C'\)) và \(DM = NC'\) (do cùng bằng một nửa \(AD\)) nên nó là hình bình hành. Suy ra \(MN\parallel DC'\).

Như vậy ta suy ra \(PE\parallel MN\), điều đó có nghĩa \(E \in \left( {MNP} \right)\). Chứng minh tương tự ta cũng có \(F \in \left( {MNP} \right)\) và \(K \in \left( {MNP} \right)\). Như vậy sáu điểm \(E\), \(F\), \(K\), \(M\), \(N\), \(P\) đồng phẳng.

Xét mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) (cũng là mặt phẳng \(\left( {MPENFK} \right)\)) và \(\left( {ADD'A'} \right)\), ta thấy rằng \(M\) và \(P\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng trên, như vậy giao tuyến của \(\left( {MPENFK} \right)\) và \(\left( {ADD'A'} \right)\) chính là đường thẳng \(MP\).

Chứng minh tương tự, giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MPENFK} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\), \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), \(\left( {BCC'B'} \right)\), \(\left( {ABB'A'} \right)\), \(\left( {ABCD} \right)\) lần lượt là các đường \(PE\), \(EN\), \(NF\), \(FK\), \(KM\).

e*) Gọi \(R\), \(O\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) với \(MK\) và \(BD\).

Xét ba mặt phẳng song song \(\left( {AB'D'} \right)\), \(\left( {MPENFK} \right)\), \(\left( {C'BD} \right)\), ta thấy đường thẳng \(AC\) lần lượt cắt ba mặt phẳng trên tại \(A\), \(R\), \(O\). Hơn nữa, theo đề bài, đường thẳng \(d\) cũng cắt ba mặt phẳng song song trên lần lượt tại \(I\), \(J\) và \(H\). Theo định lí Thales trong không gian, ta có \(\frac{{AR}}{{IJ}} = \frac{{RO}}{{JH}} = \frac{{AO}}{{IH}} \Rightarrow \frac{{IJ}}{{JH}} = \frac{{AR}}{{RO}}\).

Do \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Hơn nữa, do \(R\) là giao điểm của \(AC\) và \(MK\), nên \(R\) là trung điểm của \(AO\), do đó \(\frac{{AR}}{{RO}} = 1\). Như vậy \(\frac{{IJ}}{{JH}} = 1\).

Giải bài 62 trang 118, 119 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Hướng dẫn chi tiết

Bài 62 trang 118, 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung bài 62

Bài 62 bao gồm các dạng bài tập sau:

Xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, một hình qua phép biến hình.
Tìm tâm, góc, trục của phép biến hình.
Chứng minh một hình là ảnh của một hình khác qua phép biến hình.
Ứng dụng phép biến hình vào việc giải quyết các bài toán hình học.

Lời giải chi tiết bài 62

Câu a)

Để giải câu a, ta cần xác định ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Sử dụng công thức:

A' = A + v

Trong đó:

A' là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến.
A là điểm gốc.
v là vectơ tịnh tiến.

Thay các giá trị cụ thể vào công thức, ta sẽ tìm được tọa độ của điểm A'.

Câu b)

Để giải câu b, ta cần tìm tâm của phép quay. Tâm của phép quay là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng nối các điểm tương ứng.

Sau khi tìm được tâm quay, ta có thể xác định góc quay bằng cách sử dụng công thức:

cos(θ) = (OA'² + OB'² - A'B'²) / (2 * OA' * OB')

Trong đó:

θ là góc quay.
OA', OB' là khoảng cách từ tâm quay đến các điểm A' và B'.
A'B' là khoảng cách giữa các điểm A' và B'.

Câu c)

Để giải câu c, ta cần chứng minh rằng hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều có ảnh trên hình H' qua phép đối xứng trục d.

Sử dụng công thức:

M' là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d khi và chỉ khi d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

Mẹo giải bài tập phép biến hình

Nắm vững định nghĩa và tính chất của các phép biến hình.
Vẽ hình chính xác để hình dung rõ bài toán.
Sử dụng công thức một cách chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hoặc trên các trang web học toán online khác.

Kết luận

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ cách giải bài 62 trang 118, 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Chúc bạn học tốt!

Phép biến hình	Công thức
Phép tịnh tiến	A' = A + v
Phép quay	cos(θ) = (OA'² + OB'² - A'B'²) / (2 * OA' * OB')
Phép đối xứng trục	d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'