Giải bài tập 5.39 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.76, hai puly có dạng hình tròn tâm A bán kính 12,5cm và tâm B bán kính 7cm được nối bằng dây curoa. Khoảng cách giữa tâm của hai puly là \(AB = 30cm\). Đoạn dây CD, EF tiếp xúc với cả hai puly. Tính:

a) Độ dài CD và số đo các góc của tứ giác ABCD;

b) Độ dài dây curoa.

Làm tròn độ dài đến hàng phần mười centimét, số đo góc đến phút.

Lời giải chi tiết

Kẻ BG vuông góc với AD tại G. Suy ra: \(\widehat {BGD} = \widehat {BGA} = {90^o}\).

Vì CD là tiếp tuyến của hai đường tròn (B) và (A) nên \(BC \bot CD,CD \bot AD\) nên \(\widehat {BCD} = \widehat {CDG} = {90^o}\).

Tứ giác BGDC có: \(\widehat {BCD} = \widehat {CDG} = \widehat {BGD} = {90^o}\) nên tứ giác BGDC là hình chữ nhật.

Do đó, \(CD = BG\), \(BC = DG = 7cm\).

Tam giác BGA vuông tại G nên:

+ \(\cos GAB = \frac{{GA}}{{AB}} = \frac{{DA - GD}}{{AB}} = \frac{{5,5}}{{30}} = \frac{{11}}{{60}}\) nên \(\widehat {GAB} \approx {79^o}26'\)

+ \(B{G^2} + G{A^2} = A{B^2}\),

\(BG = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {AD - DG} \right)}^2}} = \sqrt {{{30}^2} - {{\left( {12,5 - 7} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}\left( {cm} \right)\)

nên \(CD = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}cm\)

Chứng minh tương tự ta có: \(EF = \frac{{7\sqrt {71} }}{2}cm\)

Tứ giác ABCD có: \(\widehat C + \widehat D + \widehat {DAB} + \widehat {ABC} = {360^o}\)

\(\widehat {ABC} = {360^o} - \left( {\widehat C + \widehat D + \widehat {DAB}} \right) \approx {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{79}^o}26'} \right) \approx {100^o}34'\)

b) Chứng minh tương tự phần a ta có:

\(\widehat {FAB} \approx {79^o}26'\), \(\widehat {EBF} \approx {100^o}34'\)

Do đó, \(\widehat {DAF} = \widehat {DAB} + \widehat {FAB} \approx {158^o}52'\).

Do đó, số đo cung nhỏ DF là: \({158^o}52'\).

Suy ra, số đo cung lớn DF là:

\({360^o} - {158^o}52' = {201^o}8'\)

Số đo cung CE nhỏ là: \({158^o}52'\).

Độ dài cung lớn DF là:

\({l_{DF}} = \frac{{\pi {{.12.201}^o}8'}}{{{{180}^o}}} = \frac{{3017\pi }}{{225}}\left( {cm} \right)\)

Độ dài cung nhỏ CE là:

\({l_{CE}} = \frac{{\pi .7,{{5.158}^o}52'}}{{180}} = \frac{{2383\pi }}{{360}}\left( {cm} \right)\)

Độ dài dây curoa là:

\({l_{DF}} + {l_{CE}} + CD + EF \approx \frac{{3017\pi }}{{225}} + \frac{{2383\pi }}{{360}} + 2.\frac{{7\sqrt {71} }}{2} \approx 121,9\left( {cm} \right)\)