Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến giới hạn lượng giác để có thể giải quyết một cách chính xác và hiệu quả.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính các giá trị lượng giác của góc (alpha ) trong các trường hợp sau:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong các trường hợp sau:
a) \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\), với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).
b) \(\tan \alpha = \frac{5}{{12}}\), với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ I. Do đó \(\sin \alpha > 0\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 2 ,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
b) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}}\end{array}\)
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc phần tư thứ III. Do đó \(\cos \alpha < 0\)
\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta tính các giới hạn lượng giác sau:
Để tính giới hạn này, ta sử dụng giới hạn đặc biệt: limx→0 (sin x / x) = 1. Ta có thể biến đổi biểu thức như sau:
limx→0 (sin 2x / x) = limx→0 (2 * sin 2x / 2x) = 2 * limx→0 (sin 2x / 2x) = 2 * 1 = 2
Vậy, limx→0 (sin 2x / x) = 2.
Tương tự như câu a, ta sử dụng giới hạn đặc biệt: limx→0 (tan x / x) = 1. Do đó:
limx→0 (tan x / x) = 1
Vì hàm số sin x và cos x liên tục tại x = π/4, ta có thể thay trực tiếp x = π/4 vào biểu thức:
limx→π/4 (sin x - cos x) = sin(π/4) - cos(π/4) = √2 / 2 - √2 / 2 = 0
Vậy, limx→π/4 (sin x - cos x) = 0.
Ta sử dụng công thức lượng giác: 1 - cos x = 2sin2(x/2). Khi đó:
limx→0 (1 - cos x) / x2 = limx→0 (2sin2(x/2)) / x2 = limx→0 2 * (sin(x/2) / x)2 = 2 * limx→0 (sin(x/2) / 2 * (x/2))2 = 2 * (1/2)2 = 2 * 1/4 = 1/2
Vậy, limx→0 (1 - cos x) / x2 = 1/2.
Giới hạn lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự sau:
Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập cơ bản nhưng quan trọng để nắm vững kiến thức về giới hạn lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải bài tập này và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
